1958年全国统一高考数学试卷

1958年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，共100分）1求二项式（1+2x）5展开式中x3的系数考点：二项式定理。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出第r=1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数解答：解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）r=C5r2rxr今r=3，T4=C5323x3=80x3故答案为80x3点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具2求证：cosx考点：三角函数恒等式的证明。 专题：证明题。分析：首先观察等式的两边可联想到要用三角函数倍角公式sin2x=2sinxcosx，然后把题中右边的sin8x一步步转化，即可得到左边解答：证明：由倍角公式sin2x=2sinxcosx，故sin8x=2sin4xcos4x=4sin2xcos2xcos4x=8sinxcosxcos2xcos4x，所以=cosxcos2xcos4x，故得证点评：此题主要考查三角函数恒等式的证明问题，和对倍角公式sin2x=2sinxcosx的记忆和应用，在做此类题的时候要注意分析等式两边的形式再求证3如图，已知AB是O的直径，ABCD于E，切线BF交AD的延长线于F，若AB=10，CD=8，则切线BF的长是 5考点：与圆有关的比例线段。专题：计算题。分析：根据题意，易证ABFAED，利用对应边成比例关系即可求解解答：解：连接OD，ABCD于E，根据垂径定理得到DE=4，在直角ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8，易证ABFAED，得到 =，解得BF=5故答案为：5点评：本题考查的与圆有关的比例线段本题运用了切线的性质定理，垂径定理，得到三角形相似，从而根据相似三角形的对应边的比相等求解4求证：正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系。专题：证明题。分析：因为ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，取BC的中点E，则有AEBC，DEBC，从而有BC平面AED，易得结论解答：证明：因为ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，取BC的中点EAEBC，DEBCBC平面AED，而AD平面AED，BCAD，同理可证ABDC，ACDB点评：本题主要考查正四面体的结构特征，主要涉及了线线垂直，线面垂直的转化，属中档题5求解sinx=考点：弦切互化。 专题：计算题。分析：根据齐次式的运算法则，求出tanx，然后求出结果解答：解：，（k为整数）所以方程的解集为：点评：本题考查弦切互化，考查计算能力，是基础题6如图，已知AB是O的直径，ABCD于E，切线BF交AD的延长线于F，若AB=10，CD=8，则切线BF的长是5考点：圆的切线的性质定理的证明。 专题：计算题。分析：根据题意，易证ABFAED，利用对应边成比例关系即可求解解答：解：连接OD，ABCD于E，根据垂径定理得到DE=4，在直角ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8，易证ABFAED，得到=，解得BF=5故填：5点评：本题运用了切线的性质定理，垂径定理，得到三角形相似，从而根据相似三角形的对应边的比相等求解7设有二同心圆，半径为R，r（Rr），今由圆心O作半径交大圆于A，交小圆于A，由A作直线AD垂直大圆的直径BC，并交BC于D；由A作直线AE垂直AD，并交AD于E，已知OAD=，求OE的长考点：与圆有关的比例线段。 专题：计算题。分析：欲求OE的长，将其放在直角三角形ODE中，就是要求OD和DE的长，其中DE=ADAE，故先求出AD和AE，它们都可以在直角三角形中解得解答：解：在直角OAD中，有OD=Rsin，AD=Rcos在直角AAE中，有AE=（Rr）cosDE=ADAE=Rcos（Rr）cos=rcosOE=故所求OE的长为：点评：此题中要通过计算直角三角形中的边角关系求解根据直角三角形的性质进行计算实质上本题E点的轨迹是一个椭圆8已知三角形ABC，求作圆经过A及AB中点M，并与BC直线相切，已知：M为ABC的AB的中点，求证：一个经过A、M两点且与BC直线相切的圆考点：直线与圆的位置关系。 专题：证明题。分析：设O即为合于要求的圆（如图），因O经过A、M两点且与直线BC相切于点P，这样，BP为O的切线，BA为O的割线，所以，应有BP2=BMBA，而BM，BA均为已知，因此，BP的长度可以作出，由此可得点P，于是过A、M、P三点就可确定所求之圆，解答：解：作法：（1）作线段ABM，使AB=AB，BM=BM，（2）以AM为直径作半圆，（3）过B作AM的垂线BP交半圆于点P，（4）在ABC的边BC上截取BP=BP，（5）经过A、M、P三点作O即为所求证明：由作图可知BP2=ABBM，AB=AB，BM=BM，所以BP2=BMBA，即BP为O的切线，BMA为其割线，且O经过A、M、P三点，故O适合所要求的条件点评：此题主要考查作圆的知识点，会根据题中的条件作出符合要求的图形并证明其画图的正确性9已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根考点：三角形中的几何计算；同角三角函数间的基本关系。专题：证明题。分析：设AD=k，进而根据AB表示出DB，进而根据直角三角形的性质可知CD2=ADDB，进而整理得关于k的一元二次方程，求得k，进而求得两个锐角的值为30，60分别代入，结果为0判断出三角形的两个锐角是原三角方程的根解答：证明：设AD=k（如图）AB=2，DB=2k由CD2=ADDB，在直角ACD中，当时，