信号与系统第3章ppt课件

.,第三章离散系统的时域分析,3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应3.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应二、阶跃响应3.3卷积和一、序列分解与卷积和二、卷积的图解三、不进位乘法四、卷积和的性质,点击目录，进入相关章节,.,第三章离散系统的时域分析,3.1LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,设有序列f(k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为f(k)的移位序列。仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。,1.差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,.,3.1LTI离散系统的响应,（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)f(k1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质：af1(k)+bf2(k)=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=f(k)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=f(k)2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+bmf(k-m),因此，可定义：,.,3.1LTI离散系统的响应,2.差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m)(1),差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例：若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k1)+2y(k2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)。解：y(k)=3y(k1)2y(k2)+f(k)y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10一般不易得到解析形式的(闭合)解。,.,3.1LTI离散系统的响应,二、差分方程的经典解,y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m)(1),与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k),1.齐次解yh(k),齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0其特征方程为1+an-11+a0n=0，即n+an-1n1+a0=0其根i(i=1，2，n)称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根。当特征根为单根时，齐次解yh(k)形式为：Ck当特征根为r重根时，齐次解yh(k)形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+C1k+C0)k,.,3.1LTI离散系统的响应,2.特解yp(k):激励的形式决定特解的形式,（1）激励f(k)=km所有特征根均不等于1时;yp(k)=Pmkm+P1k+P0有r重等于1的特征根时;yp(k)=krPmkm+P1k+P0（2）激励f(k)=ak当a不等于特征根时;yp(k)=Pak当a是r重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak,.,例：若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k1)+4y(k2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。,3.1LTI离散系统的响应,.,3.1LTI离散系统的响应,三、零输入响应和零状态响应,系统的完全响应y(k)可以分解为零输入响应yzi(k)和零状态响应yzs(k)。y(k)=yzi(k)+yzs(k)零输入响应和零状态响应也可以分别用经典法求解。1.零输入响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用yzi(k)表示。在零输入条件下，(1)式可化为齐次方程：y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)0(2)一般设激励f(k)在k=0时接入系统，通常以y(1),y(2),，y(n)描述系统的初始状态，在k0时为零，因而在k0时,系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求解单位序列的响应问题转换为求解齐次方程的问题。而k0处的值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。,.,例1已知某系统的差分方程为y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应h(k)。,解根据h(k)的定义有h(k)h(k1)2h(k2)=(k)（1）h(1)=h(2)=0（1）递推求初始值h(0)和h(1)。,方程（1）移项写为,h(k)=h(k1)+2h(k2)+(k)h(0)=h(1)+2h(2)+(0)=1h(1)=h(0)+2h(1)+(1)=1,(2)求h(k)。对于k0，h(k)满足齐次方程h(k)h(k1)2h(k2)=0其特征方程为(+1)(2)=0，所以h(k)=C1(1)k+C2(2)k，k0,.,3.2单位序列响应和阶跃响应,h(0)=C1+C2=1,h(1)=C1+2C2=1解得C1=1/3,C2=2/3h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k,k0或写为h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k)注意：这时，已将h(0)的值代入，因而方程的解也满足k0,.,3.2单位序列响应和阶跃响应,二、阶跃响应,当LTI系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应称为阶跃响应，记为g(k)。g(k)=T0,(k),它的作用与连续系统中的阶跃响应g(t)相类似。若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应g(k)。此外：,由于,(k)=(k)=(k)(k1),由线性和移位不变性,h(k)=g(k)=g(k)g(k1),由于,那么,.,如：h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k,k0,那么，根据h(k)求g(k),(k0),3.2单位序列响应和阶跃响应,由级数求和公式,考虑到k0,得,.,作业：书P110P1123.9：(c)3.14：(a),.,3.3卷积和,3.3卷积和,一、卷积和,1.序列的时域分解,任意离散序列f(k)可表示为f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2)+f(i)(ki)+,.,3.3卷积和,2.任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,(k),h(k),由时不变性：,(k-i),h(k-i),f(i)(k-i),由齐次性：,f(i)h(k-i),由叠加性：,f(k),yzs(k),卷积和,.,3.3卷积和,3.卷积和的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和,为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，k为参变量。结果仍为k的函数。,.,若有两个序列f1(k)和f2(k),如果序列f1(k)是因果序列，即有f1(k)0，k0，则卷积和可改写为：,若有两个序列f1(k)和f2(k),如果序列f2(k)是因果序列，即有f2(k)0，k0，则卷积和可改写为：,若两个序列f1(k)和f2(k)都为因果序列，即有f1(k)f2(k)0，k0，则卷积和可改写为：,3.3卷积和,.,3.3卷积和,例：f(k)=ak(k),h(k)=bk(k)，求yzs(k)。,解：yzs(k)=f(k)*h(k),当ik时，(k-i)=0,这种卷积的计算方法称为解析法,.,3.3卷积和,二、卷积和的性质,满足乘法的三律：（1）交换律:f1(k)*f2(k)=f2(k)*f1(k)（2）分配律:f1(k)*f2(k)+f3(k)=f1(k)*f2(k)+f1(k)*f3(k)（3）结合律:f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t),2.f(k)*(k)=f(k)，f(k)*(kk0)=f(kk0),4.f1(kk1)*f2(kk2)=f1(kk1k2)*f2(k),5.f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k),.,3.3卷积和,例1如图复合系统由三个子系统组成，其中h1(k)=(k)，h2(k)=(k5)，求复合系统的单位序列响应h(k)。,解根据h(k)的定义，有,h(k)=(k)*h1(k)(k)*h2(k)*h1(k)=h1(k)h2(k)*h1(k),=h1(k)*h1(k)h2(k)*h1(k)=(k)*(k)(k5)*(k)=(k+1)(k)(k+15)(k5)=(k+1)(k)(k4)(k5),.,3.3卷积和,例2如图复合系统由两个