九年级数学相似复习

精品教育第二十七章相似复习讲练专题一：图形的相似知识要点：1、两个图形相似，其中一个图形可以看作把另一个图形放大或缩小得到；2、相似多边形对应角相等，对应边的比相等反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1时，两个图形全等典例例题分析：例1如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（ ）图1A BCD分析：根据比例的性质有AC2=ABBC，而BC=AB-AC，故AC2=AB（AB-AC），此时把等式看作关于AC的一元二次方程，通过解此方程即可找出AC与AB的比例关系解：AC：AB=BC：AC，AC2=ABBC又BC=AB-AC，AC2=AB（AB-AC），即AC2+ABAC-AB2=0解之得（负数舍去），说明：黄金比值是一个重要的概念，在日常生活中有广泛的实用价值，同学们应牢记例2（2007宁波）如图2，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4（1）求AD的长；（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比图2 分析：（1）根据图形相似对应边的比相等性质列比例式解答即可；（2）求图形的相似比即求多边形对应边之比解：（1）由已知，得MN=AB，MD=AD=BC 矩形DMNC与矩形ABCD相似， AD2=AB2， 由AB=4得，AD=4（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为 说明：本题主要考查利用相似多边形对应边的比相等性质求边长或相似比等问题专题训练（一）：1在下列四组图形中，不相似的有（）A1组B2组C3组D4组2若如图4所示的两个四边形相似，则的度数是（ ） 图4ABCD3将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（ ）A2：1 B C D1：1专题二：相似三角形的判定知识要点：1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似典例例题分析：例1如图1，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到ABE过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ（1）求证：PBEQAB；（2）你认为PBE和BAE相似吗？如果相似给出证明，若不相似请说明理由ADCBNMADCBQEPN图1 分析：（1）根据折叠性质知PBE、QAB和ABE都是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余性质，从角度入手可证PBEQAB；（2）由EPB=EBA=90，可考虑证明两直角夹边的比是否相等，来判断PBE和BAE是否相似解：（1）证明：PBE+ABQ=90，PBE+PEB=90，ABQ=PEB又BPE=AQB=90，PBEQAB（2）PBEQAB，BQ=PB，即又EPB=EBA=90，PBEBAE说明：根据题目提供条件，正确选择相似三角形的判定方法是解题难点通常是已知一组对应角（或公共角）相等，再找一组角相等即可；如果另一组对应角无法找到，应考虑找相等角（公共角）的夹边的比相等若已知条件中未告诉任何有关角的关系问题，则应从三边的比考虑相似例2如图2，在ABC和DEF中，A=D=90，AB=DE=3，AC=2DF=4（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC分割成的两个三角形与DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论 分析：（1）根据已知条件可用“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”进行判断；（2）可从角度入手对两个三角形进行分割解：（1）不相似在RtBAC中，A=90，AB=3，AC=4；在RtEDF中，D=90，DE=3，DF=2，RtBAC与RtEDF不相似（2）能作如图所示的辅助线进行分割ABMCDNFE图2作法：作BAM= E，交BC于M；作NDE=B，交EF于N由作法和已知条件可知BAMDENAMC=BAM+B，FND=E=NDE，AMC=FND FDN=90-NDE，C=90-B，FDN=C，AMCFND 说明：本题分割相似图形应紧扣相似三角形的判定方法，考虑两个直角三角形的两锐角互余的关系，应从角度入手进行动手分割操作专题训练（二）：图31在ABC中，AB=6，AC=8，在中，DE=4，DF=3，要ABC使与DEF相似，需添加的一个条件是 （写出一种情况即可）2如图3，已知ABC中，D是AC上一点，以AD为一边，作ADE，使ADE的另一边与AB相交于点E，且ADEABC，其中AD的对应边为AB（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）3在RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作ADE=45，如图4，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E求证：ABDDCE；当ADE是等腰三角形时，求AEABDCE 图4的长专题三：相似三角形的性质知识梳理：1、相似三角形对应高（中线、角平分线）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；2、相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方典例例题分析：例如图1，在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EFAB交BC于F点（1）当ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；（2）当ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长分析：（1）应把三角形与四边形面积关系转换成两个相似三角形对应边关系；（2）可通过设CE为x，根据周长相等列方程解答解：（1）ECF的面积与四边形EABF的面积相等，SECF:SACB1:2 图1又EFABECFACB，且AC4，CE（2）设CE的长为x，ECFACB， ， CF=由ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得=解得， CE的长为 说明：解答此类问题应充分应用相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质涉及相似图形面积问题，往往转换成对应边的比来解答专题训练（三）：1如图1，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使PQRABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（） A甲 B乙C丙 D丁2圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（如图2所示）已知桌面的直径米，桌面距离地面1米若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）平方米平方米平方米平方米3如图3，点D，E，F分别是ABC三边上的中点若ABC的面积为12，则DEF的面积为图2ABCFED 图3图1专题四：相似三角形应用举例知识要点：1、利用同一时刻不同物体的高度与影长的比相等的关系，测量物体的高度；2、结合实际利用相似三角形对应角相等、对应边相等性质选择合适的测量方法和工具，测量物体高度典例例题分析：例1如图1，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与小华的距离ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶 图1端点A已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5米，则铁塔AB的高度是米 分析：结合光的反射原理（CED=AEB），根据相似三角形的对应边的比相等来解答 解：如图，在RtCED和RtAEB中，CDE=ABE=90，CED=AEB，RtCEDRtAEB，即，解得AB=15（米）则铁塔的高度是15米说明：本题利用平面镜求物体高，充分依据物理知识“反射角等于入射角”及人与物体都垂直地面，得到三角形相似，由三角形相似对应边的比相等求物体高度例2（2007南充）如图2是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的A构成点B、C分别是两个半圆的圆心，A分别与两个半圆相切于点E、F，BC长为8米求EF的长 解：A分别与两个半圆相切于点E、F，点A、B、C分别是三个圆的圆心，AEAF4，BECF2，ABAC6AEFlBC图2在AEF和ABC中，EAFBAC，AEFABC 故则EF说明：本题解题过程既用到相似三角形的判定方法，又用到相似三角形的性质解此类问题，一般先根据条件判定两三角形相似，再由相似三角形的对应边的比相等使问题获解专题训练（四）：图3上海台湾香港5.4cm3.6cm3cm1在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图3所示飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为 千米2赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图4，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为_米2米9.6米图43汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯时，为避免上楼时墙角碰头，设计墙角到楼梯的竖直距离为1.75m他量得客厅高，楼梯洞口宽，阁楼阳台宽请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角到楼梯的竖直距离为1.75m，楼梯底端到墙角的距离是多少米？（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高要小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？【解】4、马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目跷跷板支柱的高度为米（1）若吊环高度为米，支点为跷跷板的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点移到跷跷板的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ 专题五：位似图1知识要点：1、如果两个相似图形，所有对应顶点的连线相交于一点，那么这两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心；2、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k；3、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比典例例题分析：例1如图1，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1=，则AB：A1B1等于（）分析：本题考查位似图形各对应点到位似中心的比对应相等，等于位似比的性质解：五边形和五边形是位似图形，= 图2PA1=，=说明：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，是解答有关位似计算问题的重要依据例2已知：如图2，E（-4，2），F（-1，-1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把EOF缩小，则点E的对应点E的坐标为（ ）A（2，-1）或（-2，1）B（8，-4）或（-8，4）C（2，-1） D（8，-4） 分析：根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k的性质知，本题把缩小，位似比为1：2，则点的对应点的坐标为（2，-1）或（-2，1）本题应选A说明：在直角坐标系中放大或缩小图形，可以将一个多边形的各点的横坐标与纵坐标都乘以k（或除以k），所得新多边形与原多边形是以坐标原点为位似中心的位似图形 专题训练（五）：1如图3，电影胶片上每一个图片的规格为35 cm35 cm，放映屏幕的规格为2 m2 m，若放映机的光源S距胶片2 0 cm，那么光源S距屏幕 ，米时，放映的图象刚好布满整个屏幕 图4 图5DABCDBCA灯泡图3 2如图4，ABC与ABC是位似图形，且位似比是1：2，若AB=2cm，则AB是 cm，并在图中画出位似中心O3如图5，四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形ABCD，若ABAB12，则四边形ABCD的面积四边形ABCD的面积为（ ）A41 B1 C1 D14专题训练一：1B 2A 3C专题训练二： 1答案不唯