角的平分线性质的应用

12.3角的平分线的性质,第2课时三角形中角平分线性质的应用,1,课堂讲解,角形的角平分线角平分线性质的应用,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,角平分线的性质与判定的内容是什么？,复,习,回,顾,归纳,（来自教材）,定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.,1,知识点,三角形的角平分线,求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.,例1,（来自教材）,知1讲,已知：如图，在ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：A的平分线经过点P，且PDPEPF.,（来自教材）,知1讲,（来自教材）,BM是ABC的角平分线，点P在BM上，且PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E，PDPE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理，PEPFPDPEPF.点P在A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即A的平分线经过点P.,证明：,知1讲,知1讲,三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等要点精析：(1)角平分线常与三角形内角和定理相结合求角的度数(2)与三角形三条角平分线的交点有关的面积问题常利用几个小三角形面积和等于大三角形的面积来解决(3)角平分线和平行线相结合常常可以得到等腰三角形拓展：三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心，这一点一定在三角形的内部，它到三角形三边的距离相等；三角形三边垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等二者莫混淆,知1讲,如图，在ABC中，A100，若ABC和ACB的平分线交于点O，则BOC_,例2,导引：,在ABC中，A100，ABCACB80.又BO，CO分别平分ABC，ACB，OBCOCB40.BOC180(OBCOCB)18040140.,140,总结,若ABC中，ABC和ACB的平分线交于点O，则有BOC90A.,知1讲,知1讲,如图，在ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，过点O作DEBC，分别交AB，AC于点D，E.求证：DEBDCE.,例3,知1讲,证明：,BO平分ABC，ABOCBO.DEBC，CBODOB.ABODOB.BDOD.同理可证OECE，DEODOEBDCE.,角平分线和平行线都可以得出角相等，由角相等可以得出线段相等，进而可以进行线段之间的转化，达到证明线段之间和差倍分关系的目的,知1讲,总结,到ABC的三条边距离相等的点是ABC的()A三条中线的交点B三条角平分线的交点C三条高的交点D以上均不对,知1练,知1练,如图，在ABC中，ABC，ACB的平分线相交于点O，下面结论正确的是()A12B12C1AB，ADDC，BD平分ABC.求证：CBAD180.,例5,导引：,本题根据BD平分ABC，想到过点D向角的两边作垂线段，构造直角三角形，证明直角三角形全等，从而将两角的和转化为一个平角，进而得出结论,知2讲,知2讲,如图，过点D作DEAB交BA的延长线于点E，作DFBC于点F.BD平分ABC，DEDF.在RtEAD和RtFCD中，RtEADRtFCD.EADC.EADBAD180，CBAD180.,证明：,知2讲,本题运用了构造法和转化思想，见角平分线，利用角平分线的性质作角两边的垂线段是经常作的辅助线之一，为解题提供了相等线段在本题中通过辅助线与已知条件一起构造出全等直角三角形，又利用全等三角形的性质把毫无关系的两个角转化成了一个平角证角的和是180通常转化成平角或三角形内角和问题注意：对于角平分线常采用“翻折法”构造全等三角形，即在BC上截取一点E使BEAB，连接DE，则ABDEBD，其实质是截长补短法,总结,知2讲,探究题已知：如图，CEAB，BFAC，垂足分别为E，F，BF交CE于D点，且BDCD.(1)求证：AD平分BAC.(2)若将(1)中的条件“BDCD”与结论“AD平分BAC”互换，还成立吗？试说明理由,例6,导引：,(1)由DEBDFC得到DEDF，进而可得AD平分BAC；(2)易知成立,知2讲,CEAB，BFAC，DEBDFC90.在DEB与DFC中，DEBDFC(AAS)DEDF.又DEAB，DFAC，AD平分BAC.,(1)证明：,知2讲,将(1)中的条件“BDCD”与结论“AD平分BAC”互换仍然成立理由：AD平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF，DEBDFC90.在DEB与DFC中，DEBDFC(ASA)BDCD.,(2)解：,知2讲,本题运用了转化思想在解决有关角的平分线的问题时，由角的平分线的性质可得线段相等；反之由线段相等可得角的平分线欲证明某个点在一个角的平分线上，就是证明角的顶点与该点所连的射线为角的平分线，只需从这一点向角的两边作垂线段，证明该点到角的两边的距离相等即可这样把证“点在线上”的问题转化为证“线段相等”的问题,总结,已知ABC，求作一点P，使P到A的两边的距离相等，且PAPB.下列确定P点的方法正确的是()AP为A与B的平分线的交点BP为A的平分线与AB的垂直平分线的交点CP为AC，AB两边上的高的交点DP为AC，AB两边的垂直平分线的交点,知2练,知2练,2如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市张、李两村坐落在两相交公路内超市