固体物理答案第六章1

第六章晶体中电子的输运性质,6.1用紧束缚方法可以导出体心立方晶体s态电子的能带为,（1）试求能带顶部和底部的电子有效质量；,（2）试画出沿方向，和的曲线。,解：,（1）由能带的表示式及余弦函数的性质可知，,当,时，,取最小值，即,是能带底，,电子有效质量为,同理可得,其他交叉项的倒数全为零。,而在布里渊区边界上的,处是能带顶，,电子的有效质量为,其他交叉项的倒数也全为零。,（2）,它们的曲线如图所示。,解：,（1）,能带宽度为,由极值条件,得,上式的唯一解是的解，,此式在第一布里渊区内的,解为,当时，取极小值，,且有,当时，取极大值，,且有,由以上可得能带宽度为,（2）,由,（3）,由,式，可得电子的速度,可求得带顶和带底电子的有效质量,分别为,式，,因为,证明：,为电子的动量，,另一方面，加速度,(1),(2),而速度,代入(2)式，并应用关系式,所以有,可得,(3),式中,为电子的有效质量。,联合(1)(3)两式，即得,态的电子速度为,证明：,(1),于是,(2),即,代入(2)式，有,因此,对比(1)式，即得,电子占有某个状态的几率只同该状态的能量有关。,而由,知道，这两个状态的电子电流互相抵消，,因此，无外场时，晶体中总电流为零。,证明：,结果可写成,(1),（1）在一维情况下，用紧束缚近似讨论晶体电子的能量，,式中,和,分别代表参考原子及其最近邻的位矢。,在一维原,子链中，只有两个最近邻。,选取参考原子为坐标原点，,，,则两个最近邻的位矢可分别记为,，此处a为原子间距。,由于交迭积分,对两个最近邻是相等的，记为,，,便得,(2),式中,代表能带底的数值。,（2）从上式可知，当,时，能量取最大值,这就是能带顶的数值，,故能带宽度,在能带底附近，k值很小，,，,(2)式可写成,此处,为能带底部电子的有效质量。,显然，,，即能带底部电子的有效质量为正值。,在能带顶附近，,，代入(2)式，并应用泰,勒级数公式展开，,得,式中,为能带顶部电子的有效质量，,因为,，故,，即能带顶部电子的有效质量为负值。,若只计及最近邻的相互作用，用紧束缚近似法处理晶体中,解：,s态电子的能量，其结果是,式中,和,分别是参考原子及其各个最近邻的位矢。,在二维,正三角形晶格中，有6个最近邻(如图)。,如选取参考原子为坐标,原点，,即,，,6个最近邻,的坐标分别为,对于s态电子，各个最近邻,的交迭积分皆相等，,至于速度,，可按如下方法求得,所以,其次，由公式,可求得有效质量各分量为,6.7试根据5.10题的结果，求面心立方晶格中能带底附近电子的有效质量。,解：,能带底即的最小值对应的为，,可得在能带,底处电子的有效质量为,同理可得,其他交叉项的倒数全为零。,解：,一、假定A大于0,（1）,对于能带为,简单立方晶体中的电子，其能带顶在布里渊区中心。,在布里渊区中心，电子的有效质量为,由此可知A=2。,（2）,电子能带,的能带底在,处。,由带顶和带底的能量得知能带宽度为4。,（3）,在布里渊区中心附近，,令,，,则上式化为,可见在布里渊区中心附近，等能面是球面。,因此，能量和能量两等能面间的波矢空间体积为,相应的量子态数目,能态密度,二、假定A小于0,（1）,对于能带为,简单立方晶体中的电子，其能带顶在第一布里渊区8个角顶处,在这些点，电子的有效质量为,由此可知A=-2。,（2）,电子在能带顶的能量,。,在布里渊区中心能带底的能量,。,可见能带宽度为4。,（3）,在布里渊区中心附近，,令,，,则上式化为,可见在布里渊区中心附近，等能面是球面。,因此，能量和能量两等能面间的波矢空间体积为,相应的量子态数目,能态密度,因为电子的运动速度,解：,加速度,(1),（1）,由于单位时间内电子能量的增加，等于力在单位时间内所作的,功，设外力为恒力,，,代入(1)式得,把上式写成分量形式：,则有,(2),同理，,(3),式中,按题给:,容易求得,同理，,而,同理，,因此，(2)(3)式所给出的运动方程便化为,(4),（2）,电子受到洛伦兹力,的作用。,(4)式的运动方程,可写成,(5),且,由于电子将作周期性的运动，设试探解为,代入(5)式中得,由不全为零的解的条件是,解此行列式得,所以,此处,因为,证明：,（1）,由公式,得,当存在磁场,时，,电子受到洛伦兹力,则,式中,代表电子的准动量。,若以,表示,相对于椭球主轴的方向余弦，,写成如下分量式：,稍加整理即为,则可把上式,由于电子应作周期性运动，故取试探解为,代入前面方程得,有非零解的条件是,解之便得电子的回旋频率,当磁场,在平面,上时，,从上式得,当磁场在,(2),平面上并与,轴成,角时，,于是,，,，,6.11体心立方晶格，原子总数为N。假设电子等能面为球面，试求：当费密面正好与第一布里渊区的界面相切时，第一布里渊区实际填充的电子数。,解：,因此，在第一布里渊区内实际填充的电子数应等于同布里渊区的边界面相切的费米球内所容纳的电子数。,设体心立方的晶格常数为a，则其倒格子是基矢为2/a的面心立,量相当于等能面和布里渊区的边界面相切处的能量。,在电子等能面是球面的情况下，第一布里渊区内的最高能,相切的费米球的半径R将等于布里渊区中心到最近邻面心的距离,方格子，,第一布里渊区是一个十二面体，同布里渊区的边界面,之半，即等于面心立方格子的面对角线的1/4，,因而,另一方面，在体心立方晶格中，每个晶胞包含两个原子，,每个原子平均占有体积,，,包含N个原子的晶体的总体积,因为,空间中状态密度为2V，,那么，费米球内容纳的电子数,6.12假设平衡时电子服从波耳兹曼统计分布，试应用波耳兹曼方程，推导金属的电导率。,解：,由波耳兹曼方程可知电子的,分布函数可写成,由于式中和偏差不大，可近似用代替。,所以,根据泰勒定理，上式可以看成式,泰勒展开的结果。,由于只是能量的函数，而是波矢的函数，,故,设金属的体积为单位体积。电流密度可用垂直于电流方向单位时间单位面积所通过的电子数来算出，即,所以上式积分,由于是波矢的偶函数，是的奇函数，,中的第一部分为零，所以,体积元,所以电流密度化成,附近，,这样上述积分简化为在费米面上的面积分,因为,所以积分的贡献主要来自,如果外电场沿x轴方向，则上式变为,将上式与立方晶系金属中电流与电场的关系式,比较可得到立方结构金属的电导率,6.13应用上题结果，求各向同性晶体的电导率的表示式。,解：,如果金属电子的等能面是球面，即各向同性，则,又知,可得,各向同性立方晶系金属的电导率则为,(1)证明其s态电子的能带为:,6.14应用紧束缚近似法于一维单原子链,如只计及最近邻原子间的相互作用,(2)求能带宽度及能带顶部和能带底部附近电子的有效质量.(P2725),解:,一维:,只有两个最近邻:,(2),6.15,设二维正三角形晶格中原子间距为a,只计及最近邻原子间相互作用,试根据紧束缚近似的结果,求出能量的表达式,并计算相应的电子速度和有效质量各个分量,解:,有6个最近邻原子,其坐标为:,6.16证明二维正方格子第一布里渊区角隅处的一个自由电子的动能比该区侧面中心点处的电子动能大1倍.对于三维简单立方晶格,其相应的倍数是多少?,二维正方格子边长为a,则其倒格子边长为,6.17半导体材料的价带基本上填满了电子(近满带)，价带中电子能量表示式E(k)=-1.01610-34k2(J)，其中能量顶点取在价带顶,这时若k=1106/cm处电子被激发到更高的能带(导带)，而在该处产生一个空穴，试求出此空穴的有效质量、波矢、准动量、共有化运动速度和能量。,解:,(2)准动量：,(3),(4),(5),6.18晶格常量为a的一维晶格，其价带顶附近的色散关为,其中,，在导带底附近的色散,关系为,求：,(1)禁带宽度；,(2)导带底电子的有效质量和价带顶空穴的有效质量；,(3)电子由价带顶激发到导带底时，准动量的变