天津市南开区2019届高三下学期二模考试 理科数学（PDF版）

南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷（理工类）数学试卷（理工类）第第 1 页（共页（共 9 页）页） 20182019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试学年度第二学期南开区高三年级模拟考试( (二二) ) 数数 学学 试试 卷卷（理工类）（理工类） 2019.05 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分，考试时间 120 分钟第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页 祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！ 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 3本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 参考公式：参考公式： 球的表面积公式S球=4R2，其中R表示球的半径 一、选择题：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）设全集为R，若集合A=x|(x+2)(x3)0，集合B=x|x1，则( RA)B= （ ） （A）3，+) （B）(1，3 （C）(1，3) （D）(2，+) （2）已知实数x，y满足约束条件 50 0 3 ， ， ， xy xy x 则z=2x+4y的最小值是（ ） （A）5 （B）6 （C）10 （D）10 （3）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为13，输出S 的值是46，则a的取值范围是（ ） （A）9a10 （B）9a10 （C）10a11 （D）8a9 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷（理工类）数学试卷（理工类）第第 2 页（共页（共 9 页）页） （4）祖暅原理： “幂势既同，则积不容异” 意思是说：两个同高的几何体，如在等高处 的截面积恒相等，则体积相等设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不 相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等根据祖暅原理可知，p是q的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）已知a= 1 3 2 ，b= 2 1 log 3 ，c= 1 2 1 log 3 ，则（ ） （A）abc （B）acb （C）cab （D）cba （6）设f(x)=sin3xcos3x，把y=f(x)的图象向左平移（0）个单位长度后，恰好得 到函数g(x)=sin3x+cos3x的图象，则的值可以为（ ） （A） 6 （B） 4 （C） 2 （D） （7）已知F1，F2分别为双曲线3x2y2=3a2（a0）的左、右焦点，P是抛物线y2=8ax 与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2|=12，则抛物线的准线方程为（ ） （A）x=4 （B）x=3 （C）x=2 （D）x=1 （8）已知函数f(x)= 2 1 0 1 1 0 ， ， ， x x xx 若关于x的方程|f(x)a|+|f(x)a1|=1有且仅有 两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（ ） （A） 3 2 ， 4 3 ) （B） 1 2 ， 1 3 ) （C）1， 1 2 （D）0，3 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷（理工类）数学试卷（理工类）第第 3 页（共页（共 9 页）页） 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2本卷共 12 小题，共 110 分 得得 分分 评卷人评卷人 二、 填空题：二、 填空题： 本大题共本大题共 6 个个小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 30 分 请分 请 将答案填在题中横线上将答案填在题中横线上。 （9）已知复数z= 32i 1i ，i为虚数单位，则|z|2= （10）在(x2 2 x )7的展开式中，含x2项的二项式系数为 （11）球O是正方体ABCDA1B1C1D1的外接球，若正方体ABCDA1B1C1D1的表面积 为S1，球O的表面积为S2，则 1 2 S S = （12）已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 32cos 12sin x y （为参数） ，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 cos( 4 ) =2，直线l与圆C交于M，N两点，则|MN|= （13）在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AC与BD交于点M，AB=2CD=4若 ACBD=1，则cosBMC= （14） 已知函数f(x)=ex 1 ex 2cos( 2 x)， 其中e为自然对数的底数， 若f(2a2)+f(a3) +f(0)0，则实数a的取值范围为 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷（理工类）数学试卷（理工类）第第 4 页（共页（共 9 页）页） 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 个个小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得得 分分 评卷人评卷人 （15） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若b=3，c=4，C=2B，且a b （）求cosB及a的值； （）求cos(2B+ 3 )的值 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷（理工类）数学试卷（理工类）第第 5 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评卷人评卷人 （16） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：连续竞猜3次，每次相互独立；每次竟猜时， 先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b0，1，2，3， 4，5，若|ab|1，则本次竞猜成功；在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人 获奖 （）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率； （）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏；这6人中有且仅有2对双胞胎，记 选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷（理工类）数学试卷（理工类）第第 6 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评卷人评卷人 （17） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 在如图所示的几何体中，ABC是边长为2的正三角形，AE1，AE平面ABC，平面 BCD平面ABC，BD=CD，且BDCD （）若AE=2，求证：AC平面BDE； （）若二面角ADEB为60，求AE的长； （）在（）的条件下，求直线CD与平面BDE所成角 A B D C E 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷（理工类）数学试卷（理工类）第第 7 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评卷人评卷人 （18） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 已知数列an的前n项和Sn=an( 1 2 )n1+2（nN*） ，数列bn满足bn =2nan （）求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式； （）设cn= 1 1 21 () ()() n nn n n nana ，数列cn的前n项和为Tn，求满足Tn 124 63 （nN*）的n的最大值 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷（理工类）数学试卷（理工类）第第 8 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评评卷人卷人 （19） （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，直线l：x= 2 a c 与 x轴相交于点T，且F是AT的中点 （）求椭圆的离心率； （）过点T的直线与椭圆相交于M，N两点，M，N都在x轴上方，并且M在N，T 之间，且N到直线l的距离是M到直线l距离的2倍 记NFM，NFA的面积分别为S1，S2，求 1 2 S S ； 若原点O到直线TN的距离为 20 41 41 ，求椭圆方程 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷（理工类）数学试卷（理工类）第第 9 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评卷人评卷人 （20） （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 已知函数f(x)=xlogax（a0） ，g(x)=(m+1)xlnxf(x)，函数f(x)在点x=e1处取得极 小值e1（e为自然对数的底数） （）若g(x)恰有一个零点，求m的取值集合； （）若g(x)有两零点x1，x2（x1x2） ，求证：2x1+x23em11 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 1 页（共页（共 8 页）页） 20182019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试学年度第二学期南开区高三年级模拟考试( (二二) ) 数学试卷（理工类）参考答案数学试卷（理工类）参考答案 2019.05 一、一、选择题：选择题： 题题 号号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答答 案案 D B B A C D C A 二、填空题：二、填空题： （9） 13 2 ； （10）35； （11） 2 ； （12）4； （13） 17 1 ； （14）( 3 2 ，1) 三、解答题：三、解答题： （其他正确解法请比照给分）（其他正确解法请比照给分） （15）解解： （）在ABC中，由正弦定理 B b sin = sin c C ，得 3 sinB = Csin 4 ，2 分 C=2B， 3 sinB = 4 sin2B ，即 3 sinB = 4 2sin cosBB ， 解得cosB= 3 2 4 分 在ABC中，由余弦定理b2=a2+c22accosB， 得a2 3 16 a+7=0，解得a=3，或a= 3 7 ab，a= 3 7 7 分 （）cosB= 3 2 ，sinB= 3 5 ， sin2B=2sinBcosB= 9 54 ，cos2B=2cosB21= 9 1 ， 11 分 cos(2B+ 3 )= 2 1 cos2B 2 3 sin2B= 14 15 18 13 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 2 页（共页（共 8 页）页） （16）解：解： （）记事件A为甲乙两人一次竞猜成功， 则P(A)= 11 66 65 2 CC = 4 9 2 分 甲乙两人获奖的概率为 P=1 0 3 C( 4 9 )0( 5 9 )3 1 3 C( 4 9 )1( 5 9 )2= 304 729 5 分 （）由题意可知从6人中选4人，双胞胎的对数X取值为0，1，2 6 分 P(X=0)= 112 222 4 6 CCC C = 4 15 ， P(X=1)= 1211 2222 4 6 ()C CCC C = 2 3 ， P(X=2)= 2 2 4 6 C C = 1 15 X的分布列为： 11 分 EX=0 4 15 +12 3 +2 1 15 = 4 5 13 分 （17）解：解：取BC的中点M，连接DM，AM， 因为 BD=CD，BDCD，BC=2，M为BC的中点， 所以DMBC，DM=1 1 分 又因为平面BCD平面ABC， 所以DM平面ABC，2 分 因为ABC是边长为2的正三角形， 所以AMBC，AM=3 建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz 则M(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，0，1)，A(0，3，0)，C(1，0，0)， AC=(1，3，0)，BD=(1，0，1) 4 分 X 0 1 2 P 4 15 2 3 1 15 B E D C A M x y z 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 3 页（共页（共 8 页）页） （）因为AE=2，所以E(0，3，2)，BE=(1，3，2) 设平面BDE的法向量n1=(x，y，z)， 则 1 1 0 320 n n ， ， BDxz BExyz 令x=1，所以n1=(1， 3 3 ，1)5 分 因为AC n1=0，所以ACn1， 又AC平面BDE， 所以AC平面BDE 6 分 （）设AE=h，则E(0，3，h)，BE=(1，3，h) 设平面BDE的法向量n1=(x，y，z)， 则 1 1 0 30 n n ， ， BDxz BExyzh 令x=1，所以n1=(1， 1 3 h ，1) 又平面ADE的法向量n2=(1，0，0)， 所以cos60= 12 12 | | | n n n n = 2 1 1 1 1 3 ()h = 1 2 ， 9 分 解得h=6+1，即AE=6+1 10 分 （）由（）知平面BDE的法向量n1=(1，2，1) 设直线CD与平面SBD所成的角为，而CD=(1，0，1)， 所以sin=|cos|= 1 1 | | | n n CD CD = 2 2 ， 12 分 所以= 4 ，即直线CD与平面BDE所成的角为 4 13 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 4 页（共页（共 8 页）页） （18）解：解： （）在Sn=an( 1 2 )n1+2中，令n=1， 可得S1=a11+2，即a1= 1 2 1 分 当n2时，Sn1=an1( 1 2 )n2+2， an=SnSn1=an+an1+( 1 2 )n1， 3 分 2an=an1+( 1 2 )n1，即2nan=2n1an1+1 4 分 bn=2nan，bn=bn1+1，即当n2时，bnbn1=15 分 又b1=2a1=1， 数列bn是首项和公差均为1的等差数列 6 分 于是bn=1+(n1) 1=n=2nan，an= 2n n 7 分 （）cn= 1 1 21 () ()() n nn n n nana = 1 1 1 21 22 () ()() n nn n n nn nn = 1 1 2 21 21 ()() n nn = 2 21 n 1 2 21 n ， 9 分 Tn=( 1 2 21 2 2 21 )+( 2 2 21 3 2 21 )+ +( 1 2 21 n 2 21 n )+( 2 21 n 1 2 21 n ) = 1 2 21 1 2 21 n =2 1 2 21 n 11 分 由Tn 124 63 ，得2 1 2 21 n 124 63 ，即 1 1 21 n 1 63 ， 2n+164，即n5， n的最大值为4 13 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 5 页（共页（共 8 页）页） （19）解：解： （）F是AT的中点， 2 2 a ac c ，即(a2c)(a+c)=0， 又a，c0，a=2c，e= c a = 1 2 2 分 （）过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1， N到直线l的距离是M到直线l距离的2倍， 1 1 MM NN = TM TN =2， FMN TNF S S = MN TN = 1 2 ， 又 ANF S= TNF S， 1 2 S S = 1 2 4 分 由（）知椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc ，T(4c，0) 5 分 设直线TN的方程为x=ty+4c， 与椭圆方程联立，并消去x整理得：(3t2+4)y2+24cty+36c2=0， 依题意有=(24ct)24 36c2(3t2+4)0，即t24 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 2 1 2 2 2 12 24 34 36 34 ， ， yy y y ct t c t （*） 8 分 由知M是N，T的中点，故y2= 2y1， 9 分 代入（*）得 2 2 1 1 2 2 3 2 24 34 36 34 ， ， y y ct t c t 解得t2= 36 5 11 分 原点O到直线TN的距离为d= 2 4 1 c t = 4 5 41 c = 20 41 41 ，12 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 6 页（共页（共 8 页）页） 解得c=5， 13 分 故椭圆方程为 22 1 2015 xy 14 分 （20）解：解： （）由f(x)=logax + 1 lna =0，解得x=e1， 当x(0，e1)时，f(x)0，f(x)单调递减； 当x(e1，+)时，f(x)0，f(x)单调递增 函数f(x)在点x=e1处取得极小值， f(e1)=e1logae1=e1，解得a=e， f(x)=xlnx 2 分 g(x)=(m+1)xlnxxlnx，从而g(x)=m 1 x lnx 3 分 设h(x)=g(x)=m 1 x lnxh(x)= 2 1 x x ， 令h(x)=0，得x=1 当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增； 当x(1，+)时，h(x)0，h(x)单调递减 故h(x) max=h(1)=m1 5 分 当h(x) max=0，即m=1时，因最大值点唯一，故符合题设； 6 分 当h(x) max0，即m1时，h(x)0恒成立，不合题设； 7 分 当h(x) max0，即m1时，一方面，em1，h(em)=em0； 另一方面，em1，h(em)=2mem2mem0， 于是，h(x)有两零点，不合题设 综上，m的取值集合为1 9 分 （）先证x1+x22 依题意有m= 1 1 x +lnx1= 2 1 x +lnx2 南