公开课《24.1.2垂径定理》

24.1.2垂径定理,.,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,.,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,.,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活动二,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2）线段：AE=BE,.,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.,符号语言,图形语言,.,（1）如何证明？,探究：,已知：如图，CD是O的直径，AB为弦，且AE=BE.,证明：连接OA，OB，则OA=OB,AE=BE,CDAB,.,垂径定理推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,CDAB,CD是直径，,AE=BE,O,A,B,C,D,E,.,（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,.,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,练习,解：,答：O的半径为5cm.,在RtAOE中,.,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,课堂讨论,根据已知条件进行推导：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对优弧平分弦所对劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。,只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.,1.判断：,()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,()(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.,()(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,()(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,1.已知P为O内一点，且OP2cm，如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于.,2.过O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为2厘米，则OM的长是多少？,O,M,A,2、如图，点P是半径为5cm的O内一点，且OP=3cm,则过P点的弦中，（1）最长的弦=cm（2）最短的弦=cm（3）弦的长度为整数的共有（）A、2条b、3条C、4条D、5条,巩固：,A,O,C,D,5,4,P,3,B,3、如图，点A、B是O上两点，AB=8,点P是O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OEAP于E,OFBP于F,EF=。,4,已知O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。,E,E,D,D,练习,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,.,归纳：已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据勾股定理求出另外的两个量。,.,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,.,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,实践应用,某圆直径是10,内有两条平行弦,长度分别为6和8求这两条平行弦间的距离.,.,船能过拱桥吗?,例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,.,船能过拱桥吗,解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得,在RtO