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3.3立体几何中的向量方法(二),1利用向量求空间角,|cosa，b|,|cosa，n|,|cosn1，n2|,2利用向量求空间距离,【答案】D,2如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是()A30B60C90D120【答案】C,【解题探究】建立适当的直角坐标系，求线面的夹角转化为求线与线的夹角,利用空间向量求空间角,利用向量知识求直线与平面所成角的关键是求出平面的一个法向量，然后利用夹角公式求解，注意向量夹角与线面角之间余弦值与正弦值的转化,【例2】如图，四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，点E在棱PA上且PE2EA.求二面角ABED的余弦值【解题探究】建立适当的直角坐标系，求二面角的余弦值转化为求两平面法向量夹角的余弦值,用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角的大小是不是二面角的大小(相等或互补)，要根据图形观察得到结论.,1如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，ABADPD2，CD4，E是PB的中点，以DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,(1)求异面直线AE与CP所成角的余弦值；(2)若点F平面ABCD且FE平面PBC，求F点的坐标；(3)求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值,【例3】如下图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D两点间的距离,利用空间向量求空间距离,【解题探究】两点间的距离转化为向量模的运算,【例4】已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC平面ABCD且GC2，求点B到平面EFG的距离【解题探究】建立适当的坐标系，点到面的距离转化为两点间距离,用向量法求点到平面的距离，垂线常常不必作出来，只须设出垂线段对应的向量或平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为解方程组求其法向量,二面角与向量夹角的转化易出错【示例】如图，正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别为AC和BC边上的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，则二面角BACD的余弦值为_,【错因分析】分清二面角的两个半平面的法向量的夹角是等于二面角，还是它的补角,1建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题2通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(夹角、距离等问题)3根据运算结果的几何意义来解释相关问题,【答案】B,4在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内
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