2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试数学（文科）含答案

2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）试题 第 1 页（共6页） 绝密启用前 试卷类型：（A） 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文科数学 本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1设集合12Axx= ，() lg1Bx yx=，则()AB = R A)1 2 ， B)2 +， C( 1,1 D)1 +， 2棣莫弗公式(cosisin )cosisin n xxnxnx+=+(i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗 （1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 6 (cosisin) 55 +在复平面内所对应的点位 于 A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知点(3,1)和( 4,6)在直线023=+ayx的两侧，则实数a的取值范围是 A7a 或24a B7=a或24=a C 724a D 247a 4 已知 1 ()3 ,1, ( )2 ,1, x axa x f x ax + = 是(,) +上的减函数，那么实数a的取值范围是 A. (0,1) B 1 (0, ) 2 C. 1 1 , ) 6 2 D 1 ,1) 6 5一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如下表： 组别 (0 10， (10,20 (20,30 (30,40 (40,50 (50,60 (60,70 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在(10 40，上的频率为 A. 0.13 B. 0.52 C. 0.39 D. 0.64 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）试题 第 2 页（共6页） 6. 在ABC中，D是BC边上一点，ADAB，1AD =，则AC AD A2 3 B 3 2 C 3 3 D3 7=+313sin253sin223sin163sin A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 8已知抛物线xy8 2 =，过点(2, 0)A)作倾斜角为 3 的直线l，若l与抛物线交于B、C两点， 弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为 A16 3 B 8 3 C.16 3 3 D. 8 3 9如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论: ACBD AC截面PQMN ACBD= 异面直线PM与BD所成的角为45 其中所有正确结论的编号是 A B C D 10已知函数 ( )sin()(0,|) 2 f xx =+的最小正周期是，若其图象向右平移 3 个单位 后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是 A函数( )f x的图象关于直线 2 3 x =对称 B函数( )f x的图象关于点 11 (,0) 12 对称 C函数( )f x在区间 , 212 上单调递减 D函数( )f x在 3 , 42 上有3个零点 11已知函数)(xfy =是 R 上的奇函数，函数)(xgy =是 R 上的偶函数，且)2()(+=xgxf， 当20 x时，2)(= xxg，则)5 .10(g的值为 A1.5 B8.5 C0.5 D0.5 3BC =BD D A Q B C P N M 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）试题 第 3 页（共6页） 12已知双曲线() 22 22 :10,0 xy Cab ab =的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，O为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO、 2 PF分别交双曲线C的左右支于另一点M、N，若 12 2PFPF=，且 2 120MF N=，则双曲线的离心率为 A 2 2 3 B7 C3 D2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知x轴为曲线 3 ( )44(1)1f xxax=+的切线，则a的值为 14已知 n S为数列 n a的前n项和，22 nn Sa=，则 54 SS=_. 15在ABC中，若 1 cos 3 A=，则 2 sincos2 2 BC A + +的值为 _ . 16已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为_. 三 、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤第 17 2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答 (一 ) 必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的首项 1 2 3 a =， 11 2 nnnn aaaa + += * (0,) n anN （1）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （2）数列 n n a 的前n项和 n S 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）试题 第 4 页（共6页） 18（本小题满分 12 分） 随着经济模式的改变， 微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台 已知经销某种商品的 电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3 万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示已知电 商为下一个销售季度筹备了130吨该商品现以x（单位：吨，100150 x）表示下一个销售 季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润 （1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T不少于 57 万元的概率； （3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小（保 留到小数点后一位） 19（本小题满分 12 分） 如 图 所 示 ， 四 棱 锥SABCD中 ，SA平 面ABCD，90ABCBAD=， 1ABADSA=，2BC =，M为SB的中点 （1）求证：/ /AM平面SCD； （2）求点B到平面SCD的距离 需求量(x/t) 0 0.025 0.020 0.015 0.010 150 140 130 120 110 100 0.030 A D B C M S 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）试题 第 5 页（共6页） 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 :1 4 x Cy+=， 1 F、 2 F分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点. （1）求 12 FMF的最大值，并证明你的结论； （2）若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且 11 (,) 23 k ， 求直线BM的斜率的取值范围 21（本小题满分 12 分） 已知函数( )(1)ex a f x x =+（e为自然对数的底数），其中0a （1）在区间(, 2 a 上，( )f x是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明 理由 （2）若函数( )f x的两个极值点为 1212 ,)x x xx（，证明： 21 21 ln()ln()2 1 2 f xf x xxa + + . 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）试题 第 6 页（共6页） （二） 选考题： 共 10 分 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答 注意： 只能做所选定的题目 如 果多做，则按所做的第一题计分 22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中， 直线 1 l： cos sin xt yt = = ， （t为参数， 0 2 ） ， 曲线 1 C： 2cos 4+2sin x y = = ， （为参数）， 1 l与 1 C相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求 1 C的极坐标方程及点A的极坐标； （2）已知直线 2 l： = 6 R()与圆 2 C： 2 4 3 cos20+=交于B，C两点，记AOB 的面积为 1 S， 2 COC的面积为 2 S，求 12 21 SS SS + 的值. 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知( )2f xxa=. （1）当1a =时，解不等式( )21f xx+； （2）若存在实数(1,)a+，使得关于x的不等式 2 ( )+ 1 f xxm a 有实数解，求实数m的 取值范围. 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 1 页（共10页） 绝密启用前 试卷类型：（A） 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. B 10. C 11. D 12. B 二、填空题： 13. 1 4 14. 32 15. 1 9 16. 3 8 r 3 . 17（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的首项 1 2 3 a =， 11 2 nnnn aaaa + += * (0,) n anN （1）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （2）数列 n n a 的前n项和 n S 解：（1） 11 2 nnnn aaaa + += * (0,) n anN， 1 11111 222 n nnn a aaa + + =+， 1 111 1(1) 2 nn aa + =， 4 分 又 1 2 3 a =， 1 11 1 2a =， 数列 1 1 n a 是以 1 2 首项， 1 2 为公比的等比数列6 分 （2）由（1）知 1 1111 1 2 22 nn n a =， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 2 页（共10页） 即 11 1 2n n a =+， 2n n nn n a =+ 9 分 设 23 123 222 n T =+ 2n n +， 则 23 112 222 n T =+ 1 1 22 nn nn + +， 由得 2 111 222 n T =+ 111 11 (1) 11 22 1 1 22222 1 2 n nnnnn nnn + += ， 1 1 2 22 n nn n T =又123+ + (1) 2 n n n + + = 数列 n n a 的前n项和 2(1) 2 22 n n nn n S + =+ 12 分 18（本小题满分 12 分） 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台已知经销某种 商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每 1吨亏损0.3万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图所示已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品现以x（单位：吨， 100150 x）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销 售季度内经销该商品获得的利润 （1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T不少于 57 万元的概率； （3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小 （保留到小数点后一位） 需求量(x/t) 0 0.025 0.020 0.015 0.010 150 140 130 120 110 100 0.030 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 3 页（共10页） 解解:（1）当)130,100x时，398 . 0)130( 3 . 05 . 0=xxxT； 1 分 当150,130x时，651305 . 0=T， 2 分 所以， = .150130,65 ,130100,398 . 0 x xx T 3 分 （2）根据频率分布直方图及（1）知， 当100,130)x时，由0.83957Tx=，得120130 x， 4 分 当130,150x时，由6557T =， 5 分 所以，利润T不少于57万元当且仅当150120 x，于是由频率分布直方图可知市场 需求量150,120x的频率为(0.0300.0250.015) 100.7+=， 所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 万元的概率的估计值为0.7，7 分 （3）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为 105 0.1 115 0.2 125 0.3 135 0.25 145 0.15126.5x =+= （吨）9 分 由频率分布直方图易知，由于x100,120)时，对应的频率为 (0.01 0.02) 100.30.5+= ， 而100,130)x时，对应的频率为 10 分 (0.01 0.02 0.3) 100.60.5+= ， 因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间120,130)，于是估计中位数应 为120(0.5 0.1 0.2)0.03 126.7+ （吨）12 分 19(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，90ABCBAD= =， 1ABADSA=，2BC =，M为SB的中点 （1）求证：/ /AM平面SCD； （2）求点B到平面SCD的距离 A D B C M S 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 4 页（共10页） 证明：证明：（1）取SC的中点N，连结MN和DN， M为SB的中点， / /MNBC且 1 2 MNBC=，2 分 90ABCBAD= =，1AD =，2BC =， / /ADBC且 1 2 ADBC=，4 分 / /ADMN且ADMN=， 四边形AMND为平行四边形， / /AMDN， 5 分 AM 平面SCD，DN 平面SCD， / /AM平面SCD 6 分 （2）1ABSA=，M为SB的中点， AMSB， 8 分 SA平面ABCD， SABC， 90ABCBAD= =， BCAB， BC 平面SAB， BCAM， AM 平面SBC， 由（1）可知/ /AMDN， DN 平面SBC， DN 平面SCD， 平面SCD 平面SBC，10 分 作BESC交SC于E，则 BE 平面SCD， 在直角三角形SBC中，有 11 22 SB BCSC BE=， 2 22 3 36 SB BC BE SC =， 即点B到平面SCD距离为 2 3 3 .12 分 （三棱锥体积法参照给分） 20(本小题满分 12 分) A D B C M S N E 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 5 页（共10页） 已知椭圆 2 2 :1 4 x Cy+=， 1 F、 2 F分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点. （1）求 12 FMF的最大值,并证明你的结论； （2）若A、B分别是椭圆C长轴的左、 右端点，设直线AM的斜率为k，且 11 (,) 23 k ， 求直线BM的斜率的取值范围. 解：（1）由椭圆的定义可知 12 | 4MFMF+=， 在 12 FMF中，由余弦定理，可得 222 1212 12 12 | cos 2| | MFMFFF FMF MFMF + = 22 121212 12 |)|2| | 2| | MFMFFFMFMF MFMF + = ( 12 1212 2 | |2 1 | | | MFMF MFMFMFMF = 2 12 21 1 2 | 2 MFMF = + ，4 分 12 0FMF ， 12 FMF的最大值为 2 3 ，此时 12 | |MFMF=， 即点M为椭圆C的上顶点时， 12 FMF取最大值，其最大值为 2 3 .5 分 根据椭圆的对称性，当点M为椭圆C的短轴的顶点时，AMB取最大值，其最大值为 2 3 . 6 分 （2）设直线BM的斜率为 k ， 00 (,)M xy，则 0 0 2 y k x = + ， 0 0 2 y k x = ， 2 0 2 0 4 y k k x = ，9 分 又 2 2 0 0 1 4 x y+=， 22 00 44xy=， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 6 页（共10页） 1 4 k k = ， 11 (,) 23 k ， 13 24 k ， 故直线BM的斜率的取值范围为 1 3 ( ,) 2 4 .12 分 21(本小题满分 12 分) 已知函数( )(1)ex a f x x =+（e为自然对数的底数），其中0a （1）在区间(, 2 a 上，( )f x是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在， 请说明理由 （ 2 ） 若 函 数( )f x的 两 个 两 个 极 值 点 1212 ,)x x xx（， 证 明 ： 21 21 ln()ln()2 1 2 f xf x xxa + + . 解：解：（1）由条件可函数( )f x在(,0)上有意义， 2 2 ( )ex xaxa fx x + =， 令( )0fx=，得 2 1 4 2 aaa x + =， 2 2 4 2 aaa x + =， 因为0a ，所以 1 0 x ， 2 0 x . 所以当 1 (,)xx 时，( )0fx， 当 1 (,0)xx上( )0fx， 所以( )f x在 1 (,)x上是增函数， 在 1 (,0)x是减函数. 3 分 由( )(1)ee xx axa f x xx + =+=可知， 当xa= 时，( )0f x =，当xa 时，( )0f x ，当0ax 时，( )0f x ， 因为 22 1 44 0 22 aaaaaa axa + + = =， 所以 1 0 xa ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 7 页（共10页） 又函数在 1 (, 0)x上是减函数，且 1 0 2 a xa ， 所以函数在区间(, 2 a 上的有最小值，其最小值为 2 ()e 2 a a f = . 6 分 （2）由（1）可知，当0a 时函数( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x， 且 1 x， 2 x是方程 2 0 xaxa+=的两根， 所以 1212 xxx xa+= ，且 12 1xx， 11 12 1 ( )(1)e(1)e xx a f xx x =+=， 2 21 ()(1)exf xx=， 所以 2 2112 ln()ln(1)eln(1) x f xxxx=+， 1 1221 ln( )ln(1)eln(1) x f xxxx=+， 所以 21122112 212112 ln()ln( )ln(1)ln(1)ln(1)ln(1) =+1 1(1) f xf xxxxxxx xxxxxx + = （)- ， 又 2112 222 111 2()2(1)(1)axxxx += += + + ， 9 分 由（1）可知 12 110 xx ， 设 1 1mx= ， 2 1nx= ，则0mn， 故要证 21 21 ln()ln()2 1 2 f xf x xxa + + 成立，只要证 lnln2mn mnmn + 成立， 下面证明不等式 lnln2mn mnmn + 成立， 构造函数 2(1) ( )ln,(1) 1 t h ttt t = + 则 2 2 (1) ( )0 (1) t h t t t = + ，所以( )h t在(1,)t+上单调递增，( )(1)0h th=， 即 2(1) ln 1 t t t + 成立， 令 m t n =，即得不等式 lnln2mn mnmn + ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 8 页（共10页） 从而 21 21 ln()ln()2 1 2 f xf x xxa + + 成立. 12 分 22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l： cos sin xt yt = = ， （t为参数， 0 2 ），曲线 1 C： 2cos 4+2sin x y = = ， （为参数）， 1 l与 1 C相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系. （1）求 1 C的极坐标方程及点A的极坐标； （2）已知直线 2 l： = 6 R()与圆 2 C： 2 4 3 cos20+=交于B，C两点，记 AOB的面积为 1 S， 2 COC的面积为 2 S，求 12 21 SS SS + 的值. 解：（1）（法一）由题意可知， 1 C的直角坐标方程为 22 (4)4xy+=， 将 cos sin x y = = ， 代入得 1 C的极坐标方程为 2 8 sin120+=， 2 分 又 1 l的参数方程为 cos sin xt yt = = ， （t为参数， 0 2 ）， 得 1 l的极坐标方程为= R（）， 3 分 将= 代入得 2 8 sin120+=，则 2 (8sin )4 120 = =，又 0 2 ， 解得 = 3 ，此时=2 3，所以点A的极坐标为 2 3 3 （，）， 5 分 （法二）由题意可知， 1 C的直角坐标方程为 22 (4)4xy+=， 将 cos sin x y = = ， 代入，得 1 C的极坐标方程为 2 8 sin120+=， 2 分 因为 1 l与 1 C相切于点A，所以在Rt 1 OC A中，有 22 11 |2 3OAOCC A=， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 9 页（共10页） 1 1