河北省保定市2019届高三数学上学期期末考试试卷 理（含解析）.doc

2018-2019学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A【解析】【分析】设za+bi（a，bR），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求【详解】设za+bi（a，bR），由z25+12i，得a2b2+2abi5+12i，解得或z3+2i或z32i故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题2.函数y=x4(12)x的零点所在的区间是（ ）A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)【答案】B【解析】【分析】由于连续函数f（x）满足 f（1）0，f（2）0，从而得到函数yx4（12）x的零点所在区间【详解】yx4（12）x为R上的连续函数，且f（1）120，f（2）210，f（1）f（2）0，故函数yx4（12）x的零点所在区间为：（1，2），故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题3.已知a,b是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则a/b的一个充分条件是（ ）A. a/，b/ B. a/，b/，/C. a，b，/ D. ，a，b/【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质可得ab；在B、D中，均可得a与b相交、平行或异面；【详解】由a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，在A中，a/，b/，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，a/，b/，/，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，由a，/，则a，又b，由线面垂直的性质可知a/b，故C正确；在D中，a，b/，则a与b相交、平行或异面，故D错误故选：C【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题4.定义运算ab=b,aba,ab，则函数f(x)=1log2x的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据新定义可得函数1log2x就是取1与log2x中较大的一个即可判断【详解】从定义运算ab=b(ab)a(ab)上看，对于任意的a、b，ab实质上是求a与b中最大的，1log2x就是取1与log2x中较大的一个，对于对数函数ylog2x，当x2，log2x1，当0x2时，f（x）1故选：C【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题5.(12x)5(2+x)的展开式中，x3的系数是（ ）A. -160 B. -120 C. 40 D. 200【答案】B【解析】【分析】将问题转化为二项式（12x）5的展开式的系数问题，求出（12x）5展开式的通项，分别令r2，3求出（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数【详解】（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（12x）5展开式中x3项的系数的2倍与（12x）5展开式中x2项的系数的和（12x）5展开式的通项为Tr+1（2）rC5rxr令r3得到x3项的系数为8C5380令r2得到x2项的系数为4C5240所以（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是802+40120故答案为：B【点睛】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出值，最后求出其参数.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 36 B. 32 C. 30 D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形，高为4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4，故S四棱锥=SABE+SCBE+SCDE+SADE+S四边形ABCD=1243+1253+1253+1243+3336故选：A【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键7.若双曲线C:x2my23=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线C的离心率为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线y28x的焦点坐标，由此得到双曲线C：x2m-y23=1的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率【详解】抛物线y28x的焦点是（2，0），双曲线C：x2m-y23=1的一个焦点与抛物线y28x的焦点重合，c2，b23，m1，e=ca=21=2故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解8.在ABC中，若AB=(1,2)，AC=(x,2x)（x0），则当BC最小时，ACB=（ ）A. 900 B. 600 C. 450 D. 300【答案】A【解析】【分析】由已知BC=AC-AB可求BC的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x，结合向量数量积的性质即可求解【详解】AB=（1，2），AC=（x，2x）（x0），BC=AC-AB=（x1，2x2），|BC|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5令y5x26x+5，x0根据二次函数的性质可知，当x=35，ymin=165，此时BC最小，CA=(35，-65)，CB=（85，45），CACB=3585-6545=0，CACB，即C90，故选：A【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简单应用，考查运算求解能力，是基础题9.已知函数f(x)=x3+2x2f(1)+2，且图像在点x=2处的切线的倾斜角为，则sin(2+)cos(32)的值为（ ）A. 316 B. 316 C. 417 D. 417【答案】D【解析】【分析】先对函数进行求导，求出f（1），然后根据导数的几何意义求出切线斜率kf（2）tan，然后根据诱导公式及同角基本关系可得sin（2+）cos（32-）cossin=-sincossin2+cos2=-tan1+tan2，代入可求【详解】f（x）x3+2x2f（1）+2，f（x）3x2+4xf（1），f（1）3+4f（1），即f（1）1，f（x）3x24x，图象在点x2处的切线的斜率kf（2）4tan，则sin（2+）cos（32-）cossin=-sincossin2+cos2 =-tan1+tan2 =-417，故选：D【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础知识的综合应用10.已知P是ABC所在平面内一点，2PB+3PC+PA=0，现将一粒红豆随机撒在ABC内，记红豆落在PBC内的概率为PPBC，落在PAC内的概率为PPAC，则PPBCPPBAPPAC=（ ）A. 16 B. 112 C. 518 D. 136【答案】D【解析】【分析】根据2PB+3PC+PA=0，计算出PAB，PAC，PBC面积的关系，求出概率，作积得答案【详解】如图，令PB1=2PB，PC1=3PC，PA1=PA则P为A1B1C1 的重心，SPA1B1=SPA1C1=SPB1C1，而SPAB=12SPA1B1，SPAC=13SPA1C1，SPBC=16SPB1C12SPAB3SPAC6SPBC，PPAB=12，PPAC=13，PPBC=16则PPBCPPBAPPAC=121316=136故选：D【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档11.数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，其相邻的两个1被2隔开，第n对1之间有n个2，则数列的前209项的和为（ ）A. 279 B. 289 C. 399 D. 409【答案】C【解析】【分析】根据题意，根据数列的性质，先把数列分组，每组中，第一个数为1，其他均为2，且第n组中，有n+1个数；得到209是前19行的和，进而得到所有项的和.【详解】根据题意，先把数列分组，第一组为1，2，有2个数，第二组为1，2，2，有3个数，第三组为1，2，2，2，有4个数，第n组中，第一个数为1，其他均为2，有n+1个数，即每组中，第一个数为1，其他均为2，则前n组共有nn+32个数，当n=19时，恰好前19行有209个数，前19行有19个1，有209-19=190个2，则这些数的和为：19+1902=399.故答案为C【点睛】本题考查数列的求和，注意要先根据数列的规律进行分组，综合运用等差数列前n项和公式与分组求和的方法，进行求和12.已知,4,4且|cos|cos|0，则下列结论正确的是（ ）A. | B. | C. 【答案】A【解析】【分析】将式子变形得到coscos，因为余弦函数是偶函数，故cos|cos|，构造函数fx=|x|cos|x|，通过求导得到函数的单调性，进而得到结果.【详解】|cos|-|cos|0等价于cos|cos|,即coscos，因为余弦函数是偶函数，故cos|cos|，构造函数fx=|x|cos|x|，根据偶函数的定义f(x)=f(-x)得到函数是偶函数，而f(x)在0，4上，fx=xcosx,fx=cosxxsinx0，故函数单调增，又因为f|f|，故得到|.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数的单调性的应用，通过研究函数的这些性质来比较函数的大小；比较大小常用的方法，除构造函数，研究函数性质得到结果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性质的应用等.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合M=x|1xb0)上一点P(x0,y0)的切线方程为l:x0xa2+y0yb2=1，若分别交x,y轴于A,B两点，则当|AB|最小时，|OP|=_（O为坐标原点）【答案】a2+b2-ab【解析】【分析】利用切线求得A、B两点坐标，表示出|AB|2，再利用x02a2+y02b2=1，结合基本不等式求得|AB|2(a+b)2，再利用|AB|最小时的条件求得x02=a3a+b，y02=b3a+b，即可求解.【详解】因为点P(x0,y0)的切线方程为l:x0xa2+y0yb2=1，若分别交x,y轴于A,B两点，所以A（a2x0，0），B（0，b2y0），|AB|2=|OA|2+|OB|2=a4x02+b4y02，又 点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上，有x02a2+y02b2=1，|AB|2=a4x02+b4y02=a4x02+b4y02x02a2+y02b2=(a2+b2+b4x02y02a2+a4y02x02b2)a2+b2+2ab=(a+b)2，当且仅当b4x02y02a2=a4y02x02b2时等号成立，b4x02y02a2=a4y02x02b2a4x02+b4y02=(a+b)2，解得x02=a3a+b，y02=b3a+b，x02+y02=a3a+b+b3a+b=a3+b3a+b=a2+b2-ab，|OP|=x02+y02=a2+b2-ab.故答案为a2+b2-ab.【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.（1）求A；（2）若a=3，b=2，求ABC的面积.【答案】（1）23 （2）32-32【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2b2+c2+bc由余弦定理可得：cosA=-12，结合范围A（0，），可求A=23（2）由已知利用余弦定理c2+2c50，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解【详解】（1）因为sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，由正弦定理得a2=b2+c2+bc. 再由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12，又因为 A(0,)，所以 A=23 （2）因为a=3，b=2，A=23代入a2=b2+c2+bc得c2+2c-5=0,解得 c=6-1. 故ABC的面积S=12bcsinA=32-32.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.设a=(x2,2)，b=(3,x)，f(x)=ab，数列an的前n项和Sn，点(n,Sn)（nN*）均在函数y=f(x)的图像上.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=3anan+1，Tn是数列bn的前n项和，求满足Tnm21（nN*）的最大正整数m.【答案】（1）an6n5 （nN） （2）8【解析】【分析】（1）根据f（x）3x22x，由（n，Sn）在y3x22x上，知Sn3n22n由此能求出数列an的通项公式（2）由bn=3anan+1=3(6n-5)(6n+1)=12(16n-5-16n+1)，知Tn=12(1-17+17-113+113-119+16n-5-16n+1)=12（116n+1），根据12（116n+1）m21（nN*）对nN*恒成立,当且仅当37m21，由此能求出所有nN*都成立的m的范围【详解】（1）因为f(x)=ab3x22x. 又因为点n,SnnN* 均在函数y=fx的图像上，所以Sn3n22n. 当n2时，anSnSn1（3n22n）3n-12-2n-1 6n5. 当n1时，a1S131221，所以，an6n5 （nN*）. （2）由（1）得知bn=3anan+1 1216n-5-16n+1 ，故Tni=1nbi 12 1-17+17-113+.+16n-5-16n+1 12（116n+1），且Tn随着n的增大而增大因此，要使12（116n+1）m21（nN*）对nN*恒成立,当且仅当n=1时T1=37m21，即m9，所以满足要求的最大正整数m为8.【点睛】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大易错点是基础知识不牢固，不会运用数列知识进行等价转化转化解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件19.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长AA1=2，底面边长AB=1，N是CC1的中点.（1）求证：平面ANB1平面AA1B1B；（2）设M是线段AB1的中点，求直线C1M与平面ABC1所成的角的正弦值.【答案】（1） 见解析（2）2399133【解析】【分析】（1）通过做平行线构造平行四边形，进而得到线面垂直，再由平形四边行的对边平行的性质得到平面ANB1内的线垂直于平面AA1B1B内的线，进而得到面面垂直;(2)建立空间坐标系，求直线C1M的方向向量和面ABC1的法向量，进而得到线面角.【详解】（1）证明：取中点，AB1的中点为M，连结，MN,则有且= 四边形为平行四边形， 面,又CEAB CE平面AA1B1B故平面AA1B1B.所以平面ANB1平面AA1B1B (2)如图建立空间直角坐标系，则B(-12,0,0),A(12,0,0),C1(0,2,32) ,B1(-12,2,0)因为M是线段AB1的中点，所以M(0,1,0)所以C1M=(0,-1,-32) 设n=(x,y,z)是平面ABC1的一个法向量，因为BA=(1,0,0),BC1= (12,2,32)所以，由BAn=0BC1n=0,x=012x+2y+32z=0 所以可取n=(0,-32,2) sin=|cos|=|-321+344+34|=23197=2399133【点睛】这个题目考查了面面垂直的证明，以及线面角的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。20.为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影响的话，每投入100万元资金，在甲企业可获利150万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失50万元；同样的情况，在乙企业可获利100万元，否则将损失20万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为0.6和0.5.（1）若在甲、乙两企业分别投资500万元，求获利1250万元的概率；（2）若在两企业的投资额相差不超过300万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？【答案】（1）0.2 （2）其获利区间范围为335与365万元之间【解析】【分析】（1）由已知条件可知，在甲、乙两公司分别投资500万元的情况下欲获利1250万元，须且必须两公司均不遭受贸易战的影响，故可列出式子即可；（2）先求得投资100万元在甲公司获利的期望30万，乙为40万，设在甲、乙两公司的投资分别为x,(1000x)万元，则平均获利z=0.3x+0.4(1000x)4000.1x万元，根据x的范围可得到z的范围.【详解】（1）由已知条件可知，在甲、乙两公司分别投资500万元的情况下欲获利1250万元，须且必须两公司均不遭受贸易战的影响.故所求的概率为P=（10.6）（10.5）0.2. （2）设投资100万元在甲公司获利万元，则的可能取值为150和50万元.又甲公司遭受贸易战影响的概率为0.6故投资100万元在甲公司获利的期望为1500.4（50）0.630万元. 同理在乙公司获利的期望为1000.5（20）0.540万元. 设在甲、乙两公司的投资分别为x,(1000x)万元，则平均获利z=0.3x+0.4(1000x)4000.1x万元（其中350x650）.由于上述函数为减函数，所以其获利区间范围为335与365万元之间.【点睛】这个题目考查了互相独立事件的概率的求法，以及离散型随机变量的均值的求法，即期望的求法；其中互相独立事件A和B，P(AB)=P(A)P(B).21.设点P(52,32)在以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上.（1）求椭圆C的方程；（2）经过F2作直线m交C于两点A,B，交y轴于M点，若MA=1AF2，MB=2BF2，且12=1，求1与2.【答案】（1）x210+y26=1 （2）1=-3，2=-13，或1=-13，2=-3【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义得到2a值，由题干得到c=2,进而得到方程；（2）设出A、B、M点的坐标，根据向量关系得到A点坐标x1=211+1，y1=y01+1，代入椭圆方程得到关于1的方程，同理得到关于2的方程，进而抽出1、2是方程182+60+30-5y02=0的两个根，解出即可得到1与2.【详解】（1）因为点P（52，32）在以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上，所以2a=(52-2)2+94+(52+2)2+94=210所以a=10. 又因为c=2，所以b=6所以椭圆C的方程为x210+y26=1 （2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0） MA=1AF2， （x1，y1-y0）=1(2-x1,-y1) x1=211+1，y1=y01+1 将A点坐标代入到椭圆方程中，得 110(211+1)2+16(y01+1)2=1去分母整理得 ：1812+601+30-5y02=0 同理，由MB=2BF2可得：1822+602+30-5y02=0 1、2是方程182+60+30-5y02=0的两个根， 1+2=-103，又12=1二者联立解得1=-3，2=-13，或1=-13，2=-3 或所以12=30-5y0218又12=1，所以5y02=12所以上述方程即为32+10+3=0所以1=-3，2=-13，或1=-13，2=-3【点睛】这个题目考查了椭圆的方程的求法，还考查了向量在圆锥曲线中的应用，一般采用的是向量坐标化，得到点坐标间的关系，再通过题干列出相应的方程进行分析即可.22.已知函数f(x)=x3+(k1)x2+(k+5)x+d.（1）若k=1，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(0,3)上不单调，求实数k的取值范围；（3）求证：k7是函数f(x)在R上有三个不同零点的必要不充分条件.【答案】（1）函数f(x)的单调递增区间为(,+)，没