蔡中兵《材料力学》2轴向拉压

材料力学,第二章轴向拉伸和压缩,2-1概念,2-2内力、截面法、轴力与轴力图,2-3应力、拉压杆的应力,2-4拉压杆的变形、胡克定律,2-5拉压杆内的应变能,2-6材料在拉压时的力学性能,2-7强度条件、安全因素、许用应力,2-8应力集中的概念,2-1轴向拉伸与压缩的概念,此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。,受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力F作用。,变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。,2-1轴向拉伸与压缩的概念,斜拉桥承受拉力的钢缆,一、外力与内力,某一物体受到的其它物体对它的作用力，包括荷载以及约束反力。,1.外力,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,2、内力,固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决定的。,附加内力（内力）：在原有内力的基础上，由于外力作用产生变形，引起构件各部分之间相互作用力的改变量,又增加了新的内力。,2、内力,附加内力（内力）：在原有内力的基础上，由于外力作用产生变形，引起构件各部分之间相互作用力的改变量,又增加了新的内力。,这样的内力随外力的增加而增大，达到某种程度会引起构件的破坏，因而它与构件的强度、刚度和稳定性密切相关。,内力如何来分类和确定呢？用一个虚拟的截面将平衡构件截开，分析被截开的构件截面上的受力情况，这样的方法称为截面法。,假想截面,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,分布内力,如何将分布内力简化？,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,1、在截面上选择力系简化中心，建立坐标系。,2、将力系简化为主矢FR和主矩MO。,3、将主矢和主矩沿坐标轴进行分解。,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内力系的合成（力或力偶）,六个内力分量产生的效果可归纳为四种基本变形方式的原因,1、轴力FNFx沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向（伸长，缩短）,2、剪力FSFy,Fz使杆件产生剪切变形,3、扭矩Mx力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形,4、弯矩My,Mz力偶，使杆件产生弯曲变形,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,二、截面法的归纳:,1、用假想的截面将构件截开；2、任取截下的一部分作为自由体，用未知内力来代替截去部分对留下部分的作用;3、对留下的自由体使用理论力学静力学平衡的原理求出截面上的内力。,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,截面法求轴力,求内力的一般方法截面法,步骤：,轴向拉压杆的内力称为轴力,其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心),用符号表示.,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,引起纵向伸长变形的轴力为正拉力（背离截面）,轴力的符号规定:,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,FN,FN,(a),引起纵向缩短变形的轴力为负压力（指向截面）,轴力的符号规定:,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。,例题,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,三、轴力图,若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。,FN图,FN图,正值的轴力画在上侧；负值的轴力画在下侧。,轴力图的要求,1.与杆平行对齐画2.标明内力的性质（FN）3.标明内力的正负号4.注明特殊截面的内力数值（极值）5.标明内力单位,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,绘制轴力图的方法,确定约束力；,根据杆件上荷载以及约束力，确定轴力图的分段点,应用截面法，用假想截面从分段点处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定分段点处的轴力,建立FNx坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,试作图示杆的轴力图。,求支反力,解：,例题,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,注意假设轴力为拉力,横截面1-1：,横截面2-2：,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,此时取截面3-3右边为分离体方便，仍假设轴力为拉力。,横截面3-3：,同理,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,由轴力图可看出,20,10,5,FN图(kN),50,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,试作图示杆的轴力图。,例题,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,试作图示杆的轴力图。,例题,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,例题,作轴力图。,F,2F,2-2内力、截面法、轴力及轴力图,课堂练习：,作轴力图。,A=10mm2,A=100mm2,10kN,10kN,100kN,100kN,哪个杆先破坏?,2-3应力.拉(压)杆内的应力,拉压杆的强度,内力,横截面尺寸,材料的性质,对确定的材料，杆件的强度跟内力在横截面上的分布相关。,2,1,3,2-3应力.拉(压)杆内的应力,A上的内力平均集度为:,当A趋于零时，pm的大小和方向都将趋于某一极限值。,p称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。,一、应力的概念,2-3应力.拉(压)杆内的应力,p一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，对其进行分解,垂直于截面的应力分量:,相切于截面的应力分量:,正应力（normalstress）,切应力（shearingstress）,应力单位:牛顿/米2帕斯卡（Pa）,1KPa=1000Pa1MPa=1000KPa1GPa=1000MPa,2-3应力.拉(压)杆内的应力,一、应力的概念,二、拉压杆横截面上的应力,无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律,已知静力学条件,2-3应力.拉(压)杆内的应力,已知轴力求应力，需要研究变形才能解决。思路：,应力表达式,观察变形（外表）,变形假设（内部）,应力分布,2-3应力.拉(压)杆内的应力,二、横截面上正应力公式,1.变形现象,纵向线,2.平截面假设变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线.,-平截面假设,横向线,伸长,平行移动,（纵向纤维）,（横截面外轮廓线）,结论：各纵向纤维材料相同，伸长相同,所以应力也相同.,2-3应力.拉(压)杆内的应力,二、横截面上正应力公式,各点正应力亦相等，且分布均匀,3.应力分布,4.正应力公式,单位：Pa，MPa,拉伸为正，压缩为负,正负：,2-3应力.拉(压)杆内的应力,例题图示结构，已知F=20kN,斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1414mm的方截面杆。试求杆件AB、BC的应力。,解：1、受力分析,计算轴力,45,2、计算各杆件的应力,工程应用,四、工程应用,苏通大桥最粗斜拉索直径为200mm，应力极限值为1770MPa。,试计算该根斜拉索允许的最大承载力。,=55606kN,资料查得：,约为5千吨物体的重量,解：,力作用于杆端方式的不同，只影响杆端局部范围的应力分布,影响区的轴向范围约离杆端1至2个杆的横向尺寸。,圣维南原理,问题：各杆横截面的正应力分布是否相同？,2-3应力.拉(压)杆内的应力,2-3应力.拉(压)杆内的应力,圣维南原理：等效力系只影响荷载作用点附近局部区域的应力和应变分布。,例题,阶梯杆OD,左端固定，受力如图所示，OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的两倍,求杆内最大的轴力和最大正应力的大小及其位置。,1、求反力,2、画出轴力图,因此FNmax=3F在OB段，(危险截面）,易知O处反力仅有水平方向的分量FOx,2-3应力.拉(压)杆内的应力,3、计算应力,最大应力位于CD段,阶梯轴最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。,2-3应力.拉(压)杆内的应力,（最大工作应力）,例题,试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大应力。已知F=50kN。,150kN,50kN,解：,（压）,2-3应力.拉(压)杆内的应力,2、AB段柱横截面上的正应力,1、求出各部分内力，绘出轴力图,2-3应力.拉(压)杆内的应力,3、BC柱横截面上的正应力,（压）,最大应力为,三、拉压杆斜截面上的应力,F,k,k,k,k,Fa,由静力平衡得斜截面上的内力：,2-3应力.拉(压)杆内的应力,变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。,推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。,即斜截面上各点处总应力相等。,2-3应力.拉(压)杆内的应力,s0为拉压杆横截面上()的正应力。,k,k,Fa,2-3应力.拉(压)杆内的应力,总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：,2-3应力.拉(压)杆内的应力,讨论：,（1）,（2）,（横截面）,（纵截面）,（3）,2-3应力.拉(压)杆内的应力,轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。,轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。,在平行于杆轴线的截面上、均为零。,2-3应力.拉(压)杆内的应力,单元体：从杆中取出的各边长均无限小的正六面体。,B,dx,dy,dz,点的应力状态：该点不同方位上应力的全部情况。,单轴应力状态：只有一个方向上存在应力的情况。,例题,Fy=0,FN1sin45F=0,已知：A1=10002,A2=200002,F=100kN求：各杆横截面的应力,解：轴力计算取节点A分析,=100kN,Fx=0,FN1cos45FN2=0,FN2=FN1cos45,=141.40.707,2-3应力.拉(压)杆内的应力,例题,45,C,F,2,1,B,A,A,F,FN2,FN1,45,x,y,应力计算,2-3应力.拉(压)杆内的应力,正应变与切应变,正应变（线应变）每单位长度的伸长（缩短）。,平均正应变,正应变,2-4胡克定律与拉压杆的变形,切应变,应变纯粹是描述固体变形的一种几何度量。正应变在几何上表示伸长、缩短。切应变引起物体形状的改变。,切应变的单位是弧度rad,切应变（角应变）原有直角在变形后发生的直角改变量。,正应变与切应变,2-4胡克定律与拉压杆的变形,2-4胡克定律与拉压杆的变形,轴向变形,由材料的拉伸试验，在线弹性阶段有,单轴应力状态下的胡克定律,E材料的弹性模量,胡克定律即为杆件轴向变形的计算公式,轴向应变,横截面应力：,（1）胡克定律只适用于线弹性，即,说明：,一、轴向变形、胡克定律,横向变形：,横向应变：,横向应变与纵向应变的关系：,称为横向变形因数或泊松比,和E，是材料的两个弹性常数，由实验测定。,是一个无量纲量。,当应力不超过比例极限时，有,二、横向变形与泊松比,钢材的E约为200GPa,v为0.25-0.33,解：,计算杆的变形：,计算杆的应变：,例2,已知：AAB=ABC=500mm2ACD=200mm2,E=200GPa,求D点的水平位移。,解：,计算结果为负，说明D截面左移,例:,已知：E1=200GPa，A1=127mm2l1=1.55m,E2=70GPa，A2=101mm2F=9.8KN,试确定A点的位移。,解：,1、计算各杆的轴力,2、计算杆的变形,1杆的伸长,2杆的缩短,1杆的伸长,2杆的缩短,3、节点A的位移,2-5拉压杆内的应变能,杆件由于弹性变形而积聚在杆内的能量，称为弹性变形能，简称应变能。,应变能的计算：,能量守恒原理,弹性体的功能原理,单位：,焦耳J,拉(压）杆在线弹性范围内的应变能,外力功：,杆内应变能：,2-5拉压杆内的应变能,或,2-5拉压杆内的应变能,应变能密度,应变能密度单位：,杆件单位体积内的应变能,两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀分布的。,2-5拉压杆内的应变能,2-6材料在拉伸(压缩)时的力学性能,一、概述,1、力学性能：,2、标准拉伸试样,夹持部分,试验部分,过渡部分,(GB/T228-2002),材料在不同环境下，承受各种外加载荷时所表现出的力学特征。,圆形截面,矩形截面,或,电子式万能试验机,3、试验设备,通过该实验可以绘出力伸长曲线和应力应变图。,拉伸图：,Fl曲线,应力应变图：,A试件原始的截面积,l试件原始标距段长度,应力应变图可以消除横截面面积A与标距l对拉伸图的影响。,曲线,4、拉伸图与应力-应变图,二、低碳钢的拉伸力学性能,1、弹性阶段（OB段）,特点：变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复,OA段：,直线段。,称为材料的弹性模量,胡克定律,直线段的最大应力，称为比例极限；,弹性阶段的最大应力，称为弹性极限。,一般材料的比例极限与弹性极限接近，近似认为：,AB段,曲线段，应力与应变不成正比。,引入系数,则,低碳钢：,2、屈服阶段（BE段）,特点：应力变化很小，变形增加很快，称为屈服,屈服阶段不计初始瞬时效应时的最小应力（D点）,重要现象：应力在试件表面出现与轴线成45的斜纹,称为“滑移线”。,屈服极限s是衡量材料强度的重要指标；,低碳钢：,屈服时首次下降前所对应的最大应力(C点),上屈服极限：,下屈服极限：,通常将下屈服极限称为屈服强度或屈服极限，用s,试件表面出现与轴线成45的滑移线,3、强化阶段（EG段）,特点：,要继续增加应变，必须增大应力，材料恢复了抵抗变形的能力。,强化阶段应力的最大值，称为强度极限（抗拉强度）；,是衡量材料强度另一重要指标。,低碳钢：,4、局部变形阶段（GH段）,特点：,应力下降，变形限于某一局部，出现颈缩现象，最后在颈缩处拉断。,卸载与再加载情况,（1）卸载定律：在某点卸载，卸载过程应力应变为一斜直线，直线的斜率与比例阶段基本相同。,（3）冷作硬化：将材料预先拉到强化阶段再卸载，即给材料预加塑性变形，使材料的比例极限提高的现象。,5、卸载与再加载定律,（2）再加载定律：在某点卸载后，短时间再加载，加载过程基本沿原卸载曲线上升，到原卸载点后仍沿原拉伸曲线变化，直至断裂,D点的总正应变,D点的弹性应变e,D点的塑性应变p,6、塑性：,（1）断后伸长率：,设试件拉断后的标距段长度为l1,称材料的断后伸长率，是衡量材料塑性性能的重要指标；,塑性材料：,脆性材料：,低碳钢：,典型的塑性材料。,设试件拉断后颈缩处的最小面积为A1,称为断面收缩率；,也是衡量材料塑性性能的指标；,（2）断面收缩率,塑性：材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力。,三、其它金属材料拉伸时的力学性能,规定非比例延伸强度,规定非比例延伸强度,：对应于塑性应变为0.2%时的应力,1、其它塑性金属材料,三、其他金属材料在拉伸力学性能,2、脆性材料的拉伸力学性能,2、铸铁拉伸时的力学性能,特点：没有屈服和颈缩现象；拉断时的应力较低；,强度极限b是衡量强度的唯一指标。,拉断前应变很小，伸长率很小；,割线弹性模量,：对应于总应变为0.1%时曲线的割线斜率,低碳钢与铸铁的拉伸曲线对比,已知：某材料的比例极限p为230MPa，弹性模量E为70GPa，观察到应力为350MPa时，材料的正应变为0.0076；求：材料的弹性应变e与塑性应变p分别为多少？,解：因为p，故材料既发生了弹性变形，又发生了塑性变形。,弹性应变e=/E=350MPa/70GPa=0.0050,塑性应变p=-e=0.0076-0.0050=0.0026,习题,为何试件不在曲线的最高点（max处）发生断裂，而是在曲线下降过程中某点发生了断裂？,思考题,1、低碳钢压缩时的力学性能,（1）.E、s与拉伸时相似，e、p亦如此。,（2）.屈服以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不能被压断。,（3）.测不到强度极限b,（4）.测低碳钢的力学性质时，一般不做压缩实验，而只做拉伸实验。,四、金属材料在压缩力学性能,2、铸铁压缩时的力学性能,（1）.压缩强度极限远大于拉伸强度极限，可以高4-5倍。,（2）.材料最初被压鼓，后来沿450方向断裂。,脆性材料的抗压强度一般均大于其抗拉强度。,四、金属材料在压缩力学性能,五、几种非金属材料的力学性能,1、混凝土：拉伸强度很小，结构计算时一般不加以考虑;使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。,特点:1、直线段很短，在变形不大时突然断裂；2、压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关；3、以se曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。,2、木材,木材属各向异性材料,其力学性能具有方向性,亦可认为是正交各向异性材料,其力学性能具有三个相互垂直的对称轴,特点：1、顺纹拉伸强度很高，但受木节等缺陷的影响波动；2、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度，但受木节等缺陷的影响小。3、横纹压缩时可以比例极限作为其强度指标。4、横纹拉伸强度很低，工程中应避免木材横纹受拉。,松木顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的se曲线,许用应力s和弹性模量E均应随应力方向与木纹方向倾角不同而取不同数值。,玻璃钢,玻璃纤维的不同排列方式,玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料,力学性能,玻璃纤维和树脂的性能,玻璃纤维和树脂的相对量,材料结合的方式,纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的se曲线,特点：1、直至断裂前se基本是线弹性的；2、由于纤维的方向性，玻璃钢的力学性能是各向异性的。,附：材料力学性能小结,1.材料的强度指标：,塑性材料：,屈服极限,强度极限,脆性材料：,只有强度极限,抗拉强度极限,抗压强度极限,2.材料的塑性指标：,断后伸长率：,断面收缩率：,材料的分类,塑性材料,脆性材料,附：材料力学性能小结,两种材料的区别：,塑性材料在断裂前有很大的塑性变形，脆性材料在断裂前很小；,脆性材料的抗压能力比抗拉能力强，适用于受压构件；