高等数学教学中的一些问题

高等数学教学中的一些问题,乐经良上海交通大学jly,提纲极限需要充分的讲解极限的概念无穷小分析的思想贯串整个教学微分学线性近似求导的链法则中值定理对函数的多项式近似,辅助函数的构造积分典型例子：由密度求质量，贯串积分教学讲好微元法级数还是无穷小分析微分方程联系数学模型适当定性分析,高等数学主要内容为微积分关于连续变量的数学基础内容经典、变化不大苏俄教学体系痕迹深刻似乎简单，实则“很深”你能讲清楚这个概念或命题吗？你能让学生听明白这个概念或命题吗？语言几何(或其它背景)思路应用,极限要讲N吗需要比较充分地介绍极限概念区别于初等数学的概念函数变化的定量趋势简洁确切的数学语言定义的形成反映数学的发展概念的介绍例子描叙性语言数学语言表达几何解释,AR,0,NN+：当nN时，,用有限表达无限与N的关系,nN是使,成立的一个充分条件,极限是一个局部性概念,无穷小求极限的一个重要方法等价无穷小替换,那么,几个重要的等价无穷小在x0时，,更一般地若在x0时，0,例题,为什么当无穷小是代数和中一项时，一般不能用等价无穷小等换?,另一例子,在主部相同时,相减被抵消,高阶无穷小起作用,在主部相同时相减，替换就需要Taylor公式了,在主部不发生抵消时，可以替换,注意在教学的各部分提及和应用无穷小分析导数与微分积分中的微元法级数的敛散性判别,导数与微分微分学的基本思想局部线性化，略去高阶无穷小微分（Leibniz）,y的线性主部,主部ydy=o(x),dy在x0时是无穷小，是y的等价无穷小,导数（Newton）,在y中略去了高阶无穷小,几何意义注意等式(增量公式),给出了y与其线性主部间的定性关系,在x=0时无意义(考虑到复合函数求导法),微分到底是什么样的量，是否为0？,微分dy由表达式,确定是一个普通的函数,它是自变量x的线性函数在x定义范围内任何值时，它有确定的值与之对应,ydy=o(x)并非表明这个差总比x小，但在x小到某程度这个差会远比x小,微分dy在x0时是无穷小，是y的等价无穷小,复合函数的求导的链法则,求导的过程反映了函数复合的链结构,多元函数求偏导数，链法则依然关键,关键是弄清复合函数z作为x,y的函数的复合过程，“链”反映了这个复合过程,1）设函数u=f(x,y,z)可微，而x=x(t),y=y(t),z=z(t)均可导，试求复合函数u=f(x(t),y(t),z(t)的导数,例子,2）设函数z=f(x,y,u,v),而u=u(x,y),v=v(x,y)有一阶偏导数，求函数z=f(x,y,u(x,y),v(x,y)对x,y的偏导数,3）设,，求,隐函数的导数或偏导数多数教材这部分内容值得商榷学生可能不了解定理说什么，更不了解为什么利用链法则可以解决求导的问题Thomas微积分的处理可以借鉴,在任何一种求导过程中，链法则都是重要的，首先需要明确变量中哪些是自变量，哪些是函数对某一自变量求偏导数，其他自变量视为常量,1）设z=z(x,y)是由方程,2）设函数u=u(x,y),v=v(x,y)由方程组,确定，试求ux,uy,vx,vy,注意在需要求出问题中函数的所有一阶偏导数时，利用一阶微分形式不变性往往是有效的,所确定的隐函数,求zx,zy,微分中值定理对函数改变量的无穷小分析,Rolle定理Lagrange定理Cauchy定理由特殊到一般,Taylor公式，更好的近似由局部到区间，讨论函数在区间上的性质,右端是否一个函数的导数在点的值?,辅助函数的构造,Lagrange定理的辅助函数几何分析形式分析,Cauchy定理的辅助函数,形式分析,（为什么不移项）右端是否一个函数的导数在点的值?,Taylor定理辅助函数的构造Peano余项改变结论形式,结论,改变形式,其中,构造辅助函数的例子,Lhospital法则在求极限时重要且使用广泛的方法使用时结合等价无穷小替换极其必要,积分定积分的概念例子以由密度求质量作为贯串积分教学的例子分割、求和、求极限微元法求在区间a,b上的不均匀分布的量积分的技巧应适当淡化,关于微元法某个量分布在区间a,b上，如果有,问题是：我们怎样得到f(x)?,分析在小区间x,x+dx分布的部分量F的线性主部来得到dF=f(x)dx,F与dF的差是高阶无穷小o(x),例子,曲边梯形面积在小区间x,x+dx上视为矩形,分析这是否dA,看一看误差是多少?,(只要f有界),考虑,+d上的面积视为扇形,极坐标下曲边扇形面积,(只要r有界),能否不作这样的无穷小分析？,已知截面积的几何体体积,考虑x,x+dx上的体积视为柱体,考虑当x0时，误差的那一圈状体积相比于x的情况,旋转体的侧面积,考虑x,x+dx上所对应的侧面积,能不能看成圆柱侧面？,并非线性主部,能否看成圆台侧面？事实上这关系这侧面积的定义,级数收敛级数的一般项un0,是无穷小量，因此正项级数敛散性判别事实上是一种无穷小分析比值判别法,NN+：当nN时，,类等比级数,立刻导出l1.l1敛散性的结论，而对于l=1,可举例说明无法断定根值判别法是类似的比较判别法的极限形式需要与一个已知敛散性的级数比较，与谁比较？P级数,若以,作为“标准”无穷小，判别,是否收敛就是,要分析un的阶,例子讨论级数的敛散性,进一步的讨论,比值(根值)判别法不如比较判别法精细,指数阶an的无穷小比任何幂函数(1/n)p的无穷小更高阶,那么p级数当p=1时是否一个分界线呢？是否一般项un比(1/n)高阶的级数就收敛？,回答这个问题就可以采用积分判别法了,微分方程与数学建模有密切联系其本身的发展与物理等应用邻域相关至今仍然有众多来自实际的生动模型对微分方程的定性分析在教学中欠缺了解研究对象的发展趋势在方程无法求解的情况下获知信息选择适当的例子,人口增长模型从Malthus模型到Logistic模型假画的鉴定