浅谈数学思维训练

浅谈数学思维训练,数学是思维的体操.利用数学教学对学生进行思维训练，这是其它学科无法比拟的。培养抽象思维有利于学生形成数学概念；培养数学想象力是形成数学创造的主力；而培养逻辑思维则有利于数学证明的形成。因此，进行思维训练有助于提高学生成绩。,数学思维训练的意义,利用数学教学对学生进行思维训练，能让学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。,数学思维训练的意义,数学思维,数学思维就是在数学活动中的思维。,一、数学思维的基本方式,1、(思维的指向)发散思维与收敛思维2、(思维的形式)逻辑思维与形象思维3、(智力的品质)再现性思维与创造性思维,1、发散思维与收敛思维（指向性）,发散思维又称为辐射思维、扩散思维、求异思维，是在思维过程中，以某一问题为中心，沿着不同方向、不同角度，向外扩散的一种思维方法。在思维方向上具有逆向性和多向性的特点，多用于探索新知识或发现多种解答和多种结果的教学环节，在解答问题中常有三种主要的表现形式，“一题多变”、“一题多解”、“一法多用”。实质：从一到多。犹如光源向四面八方辐射光线一样，洒水壶式的思维方式。,【例】杨澜当年考正大综艺主持人的时候考官问她“你敢不敢穿三点式”她的回答是“这不是个敢不敢的问题，而是一个得不得体的问题。如果在美国西海岸的浴场上穿三点式，是很正常的事；如果在一个民风淳朴的山村大街上穿三点式，是对那里人感情的一种亵渎；如果在浴池里，穿三点式纯属多余。,一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨伞店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。,后来有一位聪明的人劝她：老太太，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都有好消息啊。这么一说，老太太生活的色彩竟焕然一新。,逆向思维-一则小故事:,收敛思维,又称集中思维，它是指由所提供的条件或事实聚合起来，朝着同一个方向思考，得出确定的答案。,收敛思维实际上是由多到一,发散思维是一种从点到面的思维形态,而收敛思维是一种从面到点的内聚式思维形态。收敛思维能力强的人一般具有较强的洞察力,看问题比较深刻,善于推理分析,且严谨周密。,收敛思维,【例】高尔基童年在食品店干杂活，曾碰到过一位刁钻的顾客，“订九块蛋糕，但要装在四个盒子里，而且每个盒子里至少要装三块蛋糕”。高尔基的办法是先将九个蛋糕分装在三个盒子里，每盒三块，然后再把这三个盒子一起装在一个大盒子里，用包装袋扎好。,在某一山区，牧羊人发现一个奇怪的山洞，带一猎狗走进去，走不多远狗就瘫倒在地，四肢抽搐后死掉，他自己却安然无恙。人们把这个洞称之“怪洞”。怪洞之谜引起了科学家的兴趣，他们用各种动物做试验，发现狗、猫、老鼠等头部离地面较近的动物在山洞会死，人在山洞不会死，马、牛等头部离地面较远的牲畜不会死。科学家得到一条结论：头部离地面近是动物死亡的原因，进而发现这个岩洞地下冒出很多二氧化碳气体，因为二氧化碳比空气比重，洞内又不通风，二氧化碳沉积在地面，动物因缺氧而死。,追问到底法,丰田公司的管理方法:机器为什么不转了?因为保险丝断了.为什么保险丝会断?因为超负荷而电流太大.,为什么会超负荷?因为轴承枯涩不够润滑.为什么不够润滑?因为油泵吸不上润滑油为什么吸不上油?因为抽油泵产生了严重磨损为什么会产生磨损?因为油泵未装过滤器而使铁屑混入.,2、逻辑思维与形象思维（形式）,逻辑思维是按照逻辑的规律、方法和形式，有步骤、有根据的从已知的知识和条件导出新结论的思维。形象思维是未经过步步分析、无清晰的步骤，而对问题突然间的领悟、理解或给出答案的思维。,物理学上的“阿基米德定律”是阿基米德在跳入澡缸的一瞬间，发现澡缸边缘溢出的水的体积跟他自己身体入水部分的体积一样大，从而悟出了著名的浮力定律。达尔文在观察到植物幼苗的顶端向太阳照射的方向弯曲现象时，就想到了它是幼苗的顶端因含有某种物质，在光照下跑向背光一侧的缘故。但在他有生之年未能证明这是一种什么物质。后来经过许多科学的反复研究，终于在1933年找到了这种物质-植物生长素。,2、逻辑思维与形象思维（形式）,在这个阶段学生的抽象思维得到初步的发展，但是在数学的学习中形象思维的成分仍然占着很大的比例。从形象思维逐步过渡到抽象思维，是初中生的认知特点。,初中生思维特点,新课改中十分注重数学教材的结构按照学生思维发展的年龄来组织。主要体现在教材的内容做到了螺旋式上升的编排结构，环环相扣，层层递进。教师在进行数学教学时应当以学生的思维发展水平为依据，善于把握学生的最近发展区，教学内容符合学生的实际水平。初中数学教材的编排侧重于思维的集中。,初中生思维特点,3、再现性思维与创造性思维（智力品质）,再现性思维：运用所获得的知识或经验，按现成的方法或程序去解决问题的思维。创造性思维：在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。,二、数学思维的一般方法,观察与实验分析与综合演绎与归纳概括与抽象特殊化与一般化判断与推理,观察与实验,观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。”数学思维通常都要从观察数学对象开始，结合运用其它方法才能获得关于客观事物的本质和规律的认识，因此观察法是数学思维过程的必需的和第一位的方法。,“实验是根据所研究问题的需要，按照研究对象的自然状态和客观规律，人为地设置条件使所希望的现象产生或对其进行控制的科学方法。”,小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.,如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？,剪一剪,边：,角：,当四边形ABCD为菱形时,AB=BC=CD=AD,AOB=AOD=DOC=BOC=901=2=3=45=6=7=8,探索发现：,对角线：,ACBD,推理论证,已知:如图，四边形ABCD是菱形，求证：,(1)AB=BC=CD=DA,(2)ACBD,AC平分DAB和DCB,BD平分ADC和ABC,证明(1)四边形ABCD是菱形,DA=DC(菱形的定义),DA=BC,AB=DC,AB=BC=DC=DA,(2)在等腰DAC中,AO=CODBAC，DB平分ADC（三线合一）,同理：DB平分ABC；AC平分DAB和DCB,分析与综合,分析：由结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法。综合：从条件推到到由条件产生的结果的一种思维方法。证明：先分析后综合,演绎与归纳,演绎：一般特殊归纳：特殊一般,完全归纳法：数学证明的方法（第一数归法）,不完全归纳法：猜测，验证,概括与抽象,概括：摆脱具体内容，并且在各种对象、关系运算的结构中，抽取出相似的、一般的和本质的东西的思维过程。抽象：舍弃研究对象的非本质特征，揭示其本质特征的思维过程。,例如苹果、香蕉、生梨、葡萄、桃子等，它们共同的特性就是水果。得出水果概念的过程，就是一个抽象的过程。所谓的共同特征，是相对的，是指从某一个刻面看是共同的。比如，对于汽车和大米，从买卖的角度看都是商品，都有价格，这是他们的共同的特征，而从其他方面来比较是，他们则是不同的。所以在抽象时，同与不同，决定于从什么角度上来抽象。抽象的角度取决于分析问题的目的。,特殊化与一般化,特殊化：研究数学问题由原范围缩小到一个较小范围或个别情形（特例、反例分析法）一般化：由原范围到更大范围进行研究特殊化与一般化相结合,例,证明：具有下列形式的数是完全平方数。分析：先从特殊情况出发，找出某种规律：,于是猜想,判断与推理,判断：反映对象本身及其某些属性和联系存在或不存在的思维形式。数学中的判断称为命题推理：由一个或几个判断推出另一个新的判断的思维过程。,化归与映射,化归：将待研究的问题进行转化映射：关系映射反演原则，一种特殊的化归,三教学过程与策略,一、问题情境的创设二、学生进行自主探索三、师生合作学习四、学生进行变式练习五、学生进行变式练习。,（一）问题情境的创设,问题情境的创设，其目的在于引起学生的注意，驱动学生的思维，为学生提供学习任务；生活中的现实问题对学生的学习最有意义，面对熟悉的、真实的问题情境，学生会全身心地投入到探索中。,1、问题具有导向性。问题要有明确的目的，要使学生的思维趋向于某一确定的方向，有利于解决当前要研究和解决的问题；2、问题的难易要集中。问题不易太难或者太易，难易之间应有一定的坡度；3、问题要有启发性。许多教师尝尝把启发式教学误认为提问式，认为问题提得越多越好。实际上，问题不在于多少，而在于是否具有启发性，是否是关键性问题，是否能够触及问题的本质，并引导学生积极思考，这才是关键；4、问题应具有新颖性。问题的设计要新颖、生动，这样才能引起学生的注意，激起学生探究的兴趣。,（二）学生进行自主探索,探索的过程既有假设、类比、化归和推理，又是失误、顿悟的过程，是主体的能动性的表现，是思维的实验。教师应当注重对学生的启发诱导。教师及时检查学生获取资料的手段、方法是否恰当，询问学生思维上的问题。教师可以要求学生对问题进行假设、分析和解释，并质疑学生的思维过程，寻问学生知识、概念的内涵，要求学生对他们的思维和逻辑性进行检查和反思。,（三）师生合作学习,通过呈现不同的观点、思路和做法，导致各方面的差异性冲突和不平衡，不仅可以激发学生探求真理的欲望和动力，充分调动学生的学习的积极性，而且能启迪学生的思维产生创造性的火花；学生在共享集体思维成果的基础上，进一步补充、修正、深化自己的理解，形成对新