数列的综合应用

第2讲数列的综合应用,高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题；(2)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法；(3)数列与函数、不等式的综合问题.题型一般为解答题，且为压轴题.,真题感悟,考点整合1.数列求和的常用方法(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解.(2)倒序相加法：适用于与首、末等距离的两项之和等于首、末两项之和，且和为常数的数列.等差数列前n项和公式的推导就使用了倒序相加法，利用倒序相加法求解数列前n项和时，要把握数列通项公式的基本特征，即通过倒序相加可以得到一个常数列，或者等差数列、等比数列，从而转化为常见数列的求和方法，这也是数学转化与化归思想的具体体现.,(5)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和.(6)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论.,热点一有关数列中计算的综合问题,【例1】(2011江苏卷)设M为部分正整数组成的集合，数列an的首项a11，前n项的和为Sn，已知对任意的整数kM，当整数nk时，SnkSnk2(SnSk)都成立.(1)设M1，a22，求a5的值；(2)设M3，4，求数列an的通项公式.,解(1)由题设知，当n2时，Sn1Sn12(SnS1)，即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1，从而an1an2a12.又a22，故当n2时，ana22(n2)2n2.所以a5的值为8.(2)由题设知，当kM3，4且nk时，SnkSnk2Sn2Sk且Sn1kSn1k2Sn12Sk，两式相减得an1kan1k2an1，即an1kan1an1an1k，所以当n8时，an6，an3，an，an3，an6成等差数列，且an6，an2，an2，an6也成等差数列.从而当n8时，2anan3an3an6an6，(*)且an6an6an2an2.所以当n8时，2anan2an2，即an2ananan2.于是当n9时，an3，an1，an1，an3成等差数列，从而an3an3an1an1，故由(*)式知2anan1an1，即an1ananan1.当n9时，设danan1.,探究提高此类问题看似简单，实际复杂，思维量和计算量较大，难度较高.,热点二有关数列中证明的综合问题,探究提高不等式证明是数列问题中的常见题型，一般方法是利用不等式证明的常规方法，如综合法、分析法等直接证明方法，也可以应用反证法等间接证明方法.,【训练2】(2014江苏卷)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Snam，则称an是“H数列”.(1)若数列an的前n项和Sn2n(nN*)，证明：an是“H数列”；(2)设an是等差数列，其首项a11，公差d0.若an是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立.,热点三数列中的探索性问题,探究提高数列中的比较大小与其它比较大小的方法类似，也是差比法或商比法.另外探索充要条件要从充分性、必要性两个方面判断与寻找.,1.数列与不等式综合问题(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.2.数列与函数的综合问题(1)函数条件的转化：直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x换为n即可.(2)数列向函数的转化：可将数列中的问题转化为函数问题，但要注意函数定义域.,3.数列中的探索性问题处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然