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,二项式系数的性质,二项式定理与通项公式,二项式系数的性质,(a+b)111,(a+b)2121,(a+b)31331,(a+b)414641,(a+b)515101051,(a+b)61615201561,递推法,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：,这个表称为杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623年1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,定义域0,1,2,n,令,当n=6时,其图象是7个孤立点,1.对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。,注：在杨辉三角表里，每一个数都等于它肩上两个数的和,2.增减性与最大值,当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。,当n是偶数时，中间的一项二项式系数最大值；,当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时二项式系数取得最大值。,3.各二项式系数和,练习,(1x)13的展开式中系数最小的项是（）()第六项(B)第七项()第八项(D)第九项,C,、若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4则(a0a2a4)2(a1a3)2的值等于；3、12,-2,-1094,1093,例题分析,例1在的展开式中,求:二项式系数的和;各项系数的和;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;奇数项系数和与偶数项系数和;x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.,例2证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,例题选讲,小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取1，1。,例3、已知的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。,解：依题意，展开式共19项，n=18,变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？,
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