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文档简介

-,1,方向导数与梯度,-,2,一、方向导数的定义,-,3,若f在P0点存在关于x的偏导数，则f在P0点沿x轴正向的方向导数,f在P0点沿x轴负方向的方向导数则为,沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出.,-,4,定理17.6:,则函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,证明:,且有,由函数f在点P0可微,得,-,5,上式两边同除以,令0取极限，得,-,6,对于二元函数，相应结果为,特别:,当l与x轴同向,当l与x轴反向,注：函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件.,-,7,l,y,x,z,P,P0,z=f(x,y),Q,M,是曲面在点P0处沿方向l的变化率，即半切线,方向导数,方向导数的几何意义,的斜率.,N,-,8,例1.求函数,在点P0(1,1,1)沿方向,l:(2,-1,3)的方向导数.,解:,向量l的方向余弦为,-,9,下面计算函数的偏导数：,P0(1,1,1),-,10,二、梯度的概念,gradf的长度（或模）为,下面考察梯度与方向导数之间的关系.,-,11,所以方向导数是梯度在方向l上的投影.,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,方向导数取最大值：,-,12,这就是说，f在P0的梯度方向是f的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模；而当l与梯度向量反方向时，方向导数取得最小值-|gradf(P0)|.,-,13,梯度的基本运算公式,-,14,-,15,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,-,16,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,P.1271，2，3,作业:,-,18,例4.,证:,试证,-,19,思考题,-,20,思考与练习,1.设函数,(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,2.P73题16,-,21,曲线,1.(1),在点,解答提示:,M(1,1,1)处切线的方向向量,-,22,2.P73题16,-,23,备用题1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意x,y,z具有轮换对称性,(92考研),-,24,指
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