高一数学反函数人教

教学目标,使学生掌握一些较复杂的函数的反函数的求法及其应用.,重点难点,较复杂的函数的反函数的求法及其应用.,复习提问,反函数的定义是什么？互为反函数的两个函数有什么关系？求下列函数的反函数：,例题分析,求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值域对反函数的限制。,例1：,例2已知f(x)=x2-2x(x2),求f-1(x),例题分析,解：令y=x2-2x，解此关于x的方程得,x2，,x2,y=x2-2x0,f-1(x)=1+（x0，xR）,说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域.,一、求已知函数的反函数题型,例3求函数y=(x0，x1)的反函数.,解：由原函数变形为,解得y1或y1,两边平方得,原函数的反函数是,（x1或x1）,说明：原函数的值域是借助于变形中的式：0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.,例题分析,一、求已知函数的反函数题型,例4设函数y=f(x)=，求它的反函数.,分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.,解：当x0时，y=x,其反函数仍是y=x(x0);,当x0时，y=x2，由y=x2(x0)得x=,又y=x2(x0)的值域为y0,y=x2(x0)的反函数是y=(x0).,由可得f-1(x)=,例题分析,一、求已知函数的反函数题型,说明：求分段函数的反函数，一般只需将各段分别看成独立的函数，分别进行求反函数，最后直接进行拼接就可以了。但是，必须注意到反函数的定义域要分别限制。,例题分析,一、求已知函数的反函数题型,例5已知函数的反函数是(xR,x2)，求a,b,c的值.,略解：函数的反函数为(x3),a=2,b=1,c=-3.,说明：此类题型一般都是利用函数相等，用比较系数法求系数。,例题分析,一、求已知函数的反函数题型,例6已知f(x)=3x2,求：f1f(x),分析：关键是求f-1(x)，然后再求复合函数f-1f(x).（注意：它不是ff(x)的反函数）,解：f1(x)=（xR）,f1f(x)=.,思考：请再求一下ff1(x)是多少？,结论：一般的，如果定义域为A，值域为C的函数f(x）有反函数f1(x),则有f1f(x)x（xA）；ff1(x)=x(xC),例题分析,一、求已知函数的反函数题型,答案：2,例题分析,一、求已知函数的反函数题型,例7：,分析：,解：,说明：注意理解符号与的反函数的区别。,例题分析,一、求已知函数的反函数题型,例8若点A(1,2)既在函数f(x)=的图象上，又在f(x)的反函数的图象上，求a,b的值.,分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，如何寻求？,解：由A(1,2)在f(x)=上,则有,由A(1,2)在其反函数图象上，可知A(2,1)也在函数f(x)=图象上,又有,解联立的方程组得a=-3,b=7.,例题分析,二、原函数与反函数的图象关系问题,问题1：在平面直角坐标系中，点A(x,y)关于x轴的对称点A();点A(x,y)关于y轴的对称点A();点A(x,y)关于原点的对称点A();什么叫一个点P(a,b)关于一条直线对称?,定理：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.,说明：1、函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，而不是函数y=f(x)与x=f-1(y)的图象关于直线y=x对称.2、函数y=f(x)和函数x=f-1(y)的图象是同一个图象.,例题分析,二、原函数与反函数的图象关系问题,例1：求函数y=x2(x(-,0)的反函数，并利用对称关系作出其反函数的图象.,例题分析,二、原函数与反函数的图象关系问题,例2：若且y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称，求函数y=g(x)的表达式，并判断yg(x)的奇偶性。,解：由于y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，g(x)=f1(x)=,可见，g（x）定义域为（，1）（1，）不关于原点对称，所以yg（x）是非奇非偶的函数。,例题分析,二、原函数与反函数的图象关系问题,例3：已知函数y=ax+b与它的反函数是同一个函数，则()A.a=1,b=0;B.a=1,b=0;C.a=1,b=0;D.a=1,b=0或a=1,bR,答案：D你对了吗？,知识积累：反函数与原函数相同的函数称为自反函数。,可见，原函数与其反函数的交点不一定都在直线y=x上。,例题分析,二、原函数与反函数的图象关系问题,练习：已知函数的图象关于y=x对称，则m=；,提示：先求出反函数，然后用比较系数法求m的值。答案：m1,结论：一般的，函数成为自反函数的条件是ad,例题分析,二、原函数与反函数的图象关系问题,例4：,解决方法：画出函数的图象，由图象可见两个函数图象恰好有两个交点，且交点在y=x上，因此有,例题分析,二、原函数与反函数的图象关系问题,小结,解决与反