概率论与数理统计 第7章ppt课件

.,1,第七章参数估计,第一节点估计,第二节估计量的评选标准,第三节区间估计,第四节单个正态总体参数的区间估计,第五节两个正态总体参数的区间估计,.,2,第七章参数估计,参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息,估计湖中鱼数,估计平均降雨量,来估计总体的某些参数或者参数的某些函数。,统计推断：参数估计和假设检验。,.,3,参数估计要解决问题:,总体分布函数的形式为已知,需要确定未知参数。,这类问题称为参数估计问题。,只有当参数确定后，,才能通过,概率密度函数计算概率。,对于未知参数，,如何应用样本,所提供的信息去对其一个或多个未知参数进行估计。,.,4,参数估计是对已知分布类型总体,参数估计,点估计,区间估计,矩估计,极大似然估计,参数估计可作如下划分,利用样本对其未知参数作出估计,.,5,点估计问题：,构造一个适当的统计量,用它的观,察值,来估计未知参数,称,参数估计：,点估计:估计的具体数值,区间估计:估计的所在范围,.,6,机动目录上页下页返回结束,点估计,第七章,第一节,一、矩估计法,二、最大似然估计法,主要内容,.,7,一.矩估计法,故用样本矩来估计总体矩,基本原理：,总体矩是反映总体分布的最简单的,数字特征，,当总体含有待估计参数时，,总体矩是,待估计参数的函数。,样本取自总体，,样本矩在一定程度上可以逼近总体矩，,由英国统计学家K.皮尔逊最早提出,.,8,存在,设总体的k阶矩,则样本的k阶矩,(由大数定理),令,从中解得,即为矩估计量。,矩估计量的观察值称为矩估计值。,设总体X的分布函数为,.,9,矩估计步骤：,连续型,离散型,.,10,例1设总体,为X的一个样,本，求,的矩估计量。,解令,其中,所以的矩估计量为,.,11,例2.,总体,的分布律为：,解：,由于总体X的分布为二项分布，,.,12,例3：,设总体,未知；,是一个,解：,令,.,13,解得：,例3：,设总体,未知；,是一个,样本,求,的矩估计量,即,.,14,例4.设总体X的概率密度为,解,即,X1,X2,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计量.,.,15,例5：,设总体,的均值,方差,都存在,且,但,未知，又设,是一个样本；求：,的矩估计量。,解：,令,.,16,注:总体均值方差的矩估计量与总体分布无关。,做矩估计时,也可用中心矩建立关于未知,参数的方程组，,因而矩估计不唯一。,未知，求参数的矩估计。,.,17,例7.设总体,一个样本，求,的矩估计量。,为X的,解:由,所以由例5可得,说明:,矩估计法是由皮尔逊在19世纪末提出来的,其特,点是简单且直观性强.,矩法所依据的是一种简单的替,换思想,这种替换后来从理论上证明是合理的,因此矩,估计法是一种较好且重要的估计法,但矩法估计与总,体的分布无关,当总体分布的类型已知时未能充分利用,总体分布提供的信息,此外总体矩不存在时,不能用此,方法.,如柯西分布,.,18,二.最大似然估计法法(极大似然估计法),先看一个简单例子：,一只野兔从前方窜过.,是谁打中的呢？,某位同学与一位猎人一起外出打猎.,如果要你推测，,你会如何想呢?,只听一声枪响，野兔应声倒下.,.,19,基本思想:,若事件发生了,则认为事件,中出现的概率最大。,最大似然估计就是在一次抽样中,若得到观测值,则选取,若一试验有n个可能结果,现做一试验,在这n个可能结果,作为的估计值。,使得当,时,样本出现的概率最大。,.,20,最大似然估计法:,事件发生的概率为,为的函数，,形式已知,X的分布律为,的联合分布律为：,称为样本的似然函数.,(1)设总体X为离散型,.,21,与,有关,记为,达到最大的参数,现从中挑选使概率,样本的似然函数,.,22,(2)设总体X为连续型,其概率密度,的形式已知，,为待估参数；,则,的联合密度：,一般，,关于,可微，故,可由下式,求得：,.,23,若总体的分布中包含多个参数，,即可令,或,的极大似然估计值。,在同一点处取极值,.,24,故似然函数为,例1：,设,是来自,的一个样本,试求参数,的极大似然估计量.,解：设,是一个样本值。,的分布律为：,而,.,25,它与矩估计量是相同的。,的极大似然估计量,令,.,26,例2：,总体,的分布律为：,是来自总体,的样本，,解：,似然函数为,计量.,.,27,令,即,.,28,例3.,设X的分布律为,是X的样本值,求参数N的极大似然估计值.,解:,要使,注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大，需要用其它的方法。,.,29,似然函数为：,例4：,设,为未知参数，,是,来自,的一个样本值，求,的极大似然估计量,解：,的概率密度为：,.,30,解得：,令,即：,.,31,例5：,设,未知，,是一个样本值,解：设,的概率密度为：,似然函数为,.,32,等价于,因为,即,时,取最大值,在,.,33,即,时,取最大值,在,注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大，需要用其它的方法。,.,34,作业,.,35,解:,例6.,设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,，求参数的最大似然估计量。,似然函数为:,.,36,例7.,设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,，求参数的最大似然估计值。,解,似然函数,.,37,例8.设总体X的概率密度为,是未知参数,其中,X1,X2,Xn是取自X的样本,求参数的极大似然估计量.,解,似然函数,所以的最大似然估计值为,.,38,说明:,极大似然估计法的主要思想,最早始于高斯的,误差理论,到1912年Fisher作为一般估计方法提出，,尽管,极大似然估计法不是任何时候都适宜的,（如总体分布,未知）,而且还常常出现似然方程难以求解的情形，,但作为一般估计方法，极大似然估计方法合理，,估计,比较准确，是一种较优良的参数估计法,.,39,第二节估计量的标准,1.无偏性:若,的数学期望存在,且,例如：样本k阶矩为,总体k阶矩,所以，,是总体k阶矩的无偏估计。,.,40,例1.,一个未知量可以有不同的无偏估计量。,解,都是总体的样本，证明,统计量,为任意常数）,都是参数的无偏估计。,所以都是参数的无偏估计。,.,41,2.有效性:,一个未知数可以有不同的无偏估计量，如何在,多个无偏估计量中选取最好的。,应以与偏离,的无偏估计量,程度最小为好。,是指在平均意义下与无偏差，,了解相合性,.,42,例2：,设总体,的数学期望和方差都存在,是X的样本,证明统计量,都是总体,更有效?,解:设,由于,.,43,都是总体均值,的无偏估计量,故,.,44,因为,.,45,例3：,设,是总体,的样本,(已知),证明:,证:(1),得,即,即,.,46,得,又,即,因为,.,47,点估计的优点在于用估计值,作为未知参数真值的,一种近似值,给人一个明确的数量概念,其不足之处,是:,点估计本身既不能反应出这种近似值的精确程度,也没有指出这种近似的可信程度.,参数的区间估计弥,补了点估计的这些缺点,区间估计理论是美籍波兰,统计学家,J.Neyman,在世纪年代建立起来的,.,48,第三节区间估计,譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地,实际上，N的真值可能大于1000条，,这样对鱼数的估计就有把握,也可能小于1000条.,相信N的真值位于其中.,根据一个实际样本，得到鱼数N的极大,似然估计为1000条.,多了.,.,49,习惯上把置信水平记作,，这里是一个,很小的正数.,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.,.,50,1.置信区间与置信度,对于样本,找出统计量,使得：,称区间,为该区间的置信度,区间估计要求根据样本给出未知参数的范围，,并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。,.,51,通常,采用95%的置信度,有时也取99%或90%.,即置信度为,这时重复抽样100次,则在得到的100个区间中包含,真值,的有95个左右,真值的有5个左右。,例如:若,不包含,是一个随机区间；,给出该区间,可能性。,区间,.,52,寻求置信区间的具体方法：,1),寻求一个样本的函数,它包含待估参数,而不含其它任何未知参数且,的分布已知;,2),3),得到等价不等式,.,53,第四节单个正态总体参数的区间估计,.均值的区间估计,(1)已知方差，估计均值,设已知方差,且,一个无偏点估计.,且,.,54,对于给定的置信度,查正态分布表，找出,临界值,使得：,由此可找出无穷多组,通常我们取对称,使：,区间,由上分位点的定义式,.,55,推得，随机区间：,查正态分布表,.,56,例1：,已知幼儿身高服从正态分布，现从5-6岁的幼,儿中随机地抽查了9人,其高度分别为115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;假设标准差,置信度为95%;试求总体均值,的置信区间,解：已知,由样本值算得：,查正态分布表得,得置信区间：,.,57,置信区间越短,估计精度越高,注意：置信区间并不是唯一的。,同样给定,.,58,例2：,设总体,问需要抽取容量为多,大的样本,才能使,的置信水平为0.95的置信区间,的长度不大于0.49?,查表得,于是,的置信水平为0.95的置信区间为,该区间长度,要使,只要,即,取,.,59,而选取样本函数：,对于给定的,分布表，得临界值,查,使,我们取对称区间,使,即：,未知方差，估计均值,可用样本方差：,(2),.,60,找出,是表中自由度；,推得，随机区间：,得,.,61,例3.,40名旅游者。,解,选取样本函数为,由公式知置信区间为,查表,则所求的置信区间为,为了调查某地旅游者的平均消费额X，,随机访问,得平均消费额为,元，样本方差,设,求该地旅游者的平均消费额,的置信区间。,.,62,.方差的区间估计,设,我们知道,并且样本函数：,使概率对称的区间：,即：,.,63,置信区间：,即,.,64,设某机床加工的零件长度,16个零件，测得长度（单位：mm）如下：,12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时,试求总体方差的置信区间。,例4：,今抽查,解:已知,查,得,查,得,由此得置信区间:,.,65,例5：,在某班级中,随机抽取25名同学测量其身高,算得平均身高为170cm,标准差为12cm.假设所测,身高近似服从正态分布,求该班学生平均身高,解：设身高,由题设得,.,66,(1),