第四章 频率特性

第四章频率特性,本章主要内容:4.I4.24.34.44.5,频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性,Part4.1频率特性的基本概念,频率特性的定义频率特性的求取频率特性的物理意义,4.1.14.1.24.1.3,定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比，定义为系统的频率特性，即从数学意义上，频率特性与传递函数存在下列简单的关系：,4.1.1频率特性的定义,频率特性一般是复变函数，所以可以表示为指数形式或者幅角形式记，称为幅频特性，称为相频特性。频率特性也可以表示为代数形式,记，称为实频特性；，称为虚频特性。显然，代数形式和指数形式（或幅角形式）存在下列关系,G()=稳态输出量与输入量的变化,幅频特性,相频特性,实频特性,虚频特性,习题：P1494-2(2)、4-3(1),4.1.1频率特性的定义,也可定义为：在正弦信号作用下,系统输入量的频率由0变化到时，稳态输出量与输入量的振幅和相位差的变化规律。,稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。,结论：在正弦输入作用下，线性定常系统的稳态输出的正弦信号的幅值，与输入正弦信号的幅值之比，就是系统的幅频特性；稳态输出的正弦信号的相角，与正弦输入信号的相角之差，就是系统的相频特性。,一般用这两种方法,4.1.2频率特性的求取,已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比；根椐传递函数来求取；通过实验测得。,123,频率特性与传递函数的关系:F()=G(j)=G(s)|s=j,4.1.2.1传递函数求取法,4.1.3频率特性的物理意义,频率特性与传递函数的关系:G(j)=G(s)|s=j,频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。,()大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。,幅值A()随着频率升高而衰减,对于低频信号,对于高频信号,!频率特性反映了系统(电路)的内在性质,与外界因素无关。,频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。,尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。,应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。,设f(t)在(-,+)内绝对可积,则,频率特性与传递函数的关系:G(j)=G(s)|s=j,例题：,某系统传递函数为,，当输入为,时，试求其稳态输出。,解：,习题：P1494-4,4-19(1),第四章频率特性,本章主要内容:4.I4.24.34.44.5,频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性,Part4.2频率特性图,频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist/Bode,4.2.14.2.2,放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节,对数幅相频率特性(Nichols),对数频率特性(Bode),频率对数分度幅值/相角线性分度,幅相频率特性极坐标图(Nyquist),以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L()()图,虚频图/实频图,频率线性分度幅值/相角线性分度,4.2.1频率特性图的定义,1.Nyquist图Nyquist图是在极坐标系中，以为参变量，为极径，为极角的频率特性图，也称为幅相频率特性图。或者等价地，Nyquist图是在直角坐标系中，以为参变量，为横坐标，为纵坐标的频率特性图。,4.2.1.1幅相频率特性图-Nyquist图,4.2.1.1幅相频率特性图-Nyquist图,奈奎斯特图Nyquist,极坐标图在极坐标复平面上画出值由零变化到无穷大时的G(j)矢量，把矢端绘成曲线。,实虚频图不同频率时，实频特性和虚频特性。,伯德图由两幅图组成。一幅是对数幅频特性图，横坐标是频率，但是以对数分度，纵坐标是20lg|G(j)|幅频特性的分贝值，表明了幅频特性与频率的关系。另一幅是对数相频特性图，横坐标是频率，也是以对数分度，纵坐标是相角G(j)，线性分度，表明了相频特性与频率的关系。,在横坐标的对数分度中，频率每变化十倍，横坐标的间隔距离增加一个单位长度，称为一个十倍频程。,4.2.1.1对数频率特性图-Bode图,4.2.1.1对数频率特性图-Bode图,频率比,dec,oct,幅值相乘变为相加，简化作图。,拓宽图形所能表示的频率范围,波德图(Bode),对数幅频+对数相频,(dB),=0不可能在横坐标上表示出来；横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；只标注的自然对数值。,通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益。用()简记对数相频特性。,AboutBode图,Part4.2频率特性图,频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist/Bode,4.2.14.2.2,放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节,放大环节幅相频率特性,放大环节对数频率特性,K1时，分贝数为正。Km时，Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为(nm)90。,总结：1.传递函数每增加一个非零极点，当-+时，将使极坐标图的相角多转-90度。2.传递函数每增加一个零极点，则在频率为0和+时，极坐标图的相角都多转-90度。3.传递函数中每增加一个零点，使极坐标图的相角在高频部分反转90度。,Part4.3系统开环频率特性,系统开环Nyquist图,系统开环Bode图,系统开环Nyquist图及绘制,Nyquist图的一般形状,增加零极点,增加非零极点,系统开环Bode图,系统开环Bode图的绘制,将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式；,幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。,相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和,系统开环Bode图,若系统的开环传递函数有个积分环节，则称为型系统。型系统的对数幅频特性的低频段近似为对于0型系统，作一条高度为20lgK，斜率为的0db/dec的直线（水平线）；对于1型系统,过=1,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为-20db/dec的直线；对于2型系统，过=1,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为-40db/dec的直线。,例1已知系统的开环传递函数为求伯德图解：,（a）对数幅频特性由开环传递函数知，对数幅频特性的渐近线有两个交接频率和，且，将它们在轴上标出；在纵坐标上找到20lgK的点A，过A点作平行于横轴的直线AB，这条平行线对应放大环节的幅频特性；在交接频率处作轴的垂线（虚线）交平行线AB于B点，以B为起点作斜率为-20dB/dec的斜线BC，C点对应交接频率，折线ABC对应放大环节K和惯性环节的叠加；,以C为起点，作斜率为-40dB/dec的斜线CD，折线ABCD即为系统开环对数幅频特性的渐近线。（b）对数相频特性在上图分别画出三个环节的相频特性曲（图中（1）-放大环节，（2）-惯性环节1和（3）-惯性环节2），然后将它们在纵轴方向上相加得到系统开环相频特性曲线（4）。,Bode图特点,最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为20vdB/dec；,注意到最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg,，当1rad/s时，L()=20lgK；,如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；,对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。,对惯性环节，-20dB/dec；振荡环节，-40dB/dec；一阶微分环节，+20dB/dec；二阶微分环节，+40dB/dec。,单回路开环系统Bode图的绘制,将开环传递函数表示为典型环节的串联；,确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上；,计算20lgK，在1rad/s处找到纵坐标等于20lgK的点，过该点作斜率等于-20vdB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。,向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率；,对惯性环节，-20dB/dec振荡环节，-40dB/dec一阶微分环节，+20dB/dec二阶微分环节，+40dB/dec,对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。,例2试绘制传递函数为式（1）式（2）的对数幅频特性。,解：由前面介绍的积分环节的对数幅频特性知，当有n个积分环节串联时，对数幅频特性应是一条过横轴上=1且斜率为-n20dB/dec的直线。题中所求分别含有一个和两个积分环节（串联），当不考虑KV和Ka的影响时，它们的对数幅频特性应是过=1且斜率分别为-20dB/dec和-40dB/dec的直线，如图中虚线所示。考虑到KV和Ka的作用，上述两条直线应分别在纵轴方向上平移20lgKv和20lgKa分贝（如图中实线所示），即=1所对应的坐标值应分别为20lgKv和20lgKa分贝。,设对数幅频特性与零分贝线（横轴）的交点频率值分别为v和a，则有由上面两式分别得到通过上面的分析，在绘制对数幅频特性时，可用下述两种方法之一进行。,方法一：对于式（1），先过横轴上=1点作横轴的垂直线，过纵轴上20lgKv点作横轴的平行线，这两条直线交于A点，然后过A点作斜率为-20dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性；对于式（2），过横轴上=1点作横轴的垂线过纵轴上20lgKa点作横轴的平行线，这两条直线交于A点，然后过A点作斜率为-40dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性。方法二：对于式（1），先在横轴上找到频率为V点，过该点作斜率为-20dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性；对于式（2），在横轴上找到频率为a的点，过该点作斜率为-40dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性。,反之，通过对数幅频特性，也可以用上述两种方法的逆过程，求出式（1）和式（2）中的开环放大系数Kv和Ka。对于含有一个或两个积分环节的系统（含有两个以上积分环节的实际系统很少见），由于频率特性的低频段形状主要由积分环节决定，因此，在绘制其对数幅频特性或通过对数幅频特性求系统的开环放大系数时，可用上述两种方法中的一个进行。,试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。解:系统的开环传递函数可写成它由一个放大环节、一个积分环节和一个振荡环节串联组成，对应的频率特性表达式为,例3已知系统的开环传递函数为,（1）极坐标图,当时，当时，当时，,由于系统含有一积分环节，当0时，系统的开环幅频特性|G(j)H(j)|。为使频率特性曲线比较精确，还须求出它的渐近线。由系统的开环频率特性可得,当0时有limG（j）H（j）2KvTj0即渐近线是一条与实轴交点为2KvT且垂直于实轴的直线，绘制出该系统在不同阻尼比的渐近线（虚线)及对应开环频率特性的极坐标图。,（2）伯德图（a）对数幅频特性由开环频率特性表达式知，对数幅频特性的渐近线有一个交接频率（对应振荡环节），将它在图的横轴上标出。该系统还含有一个积分环节和放大环节，对数幅频特性的低频段主要由积分环节和放大环节决定。当交接频率时，对数幅频特性如图1所示，斜率为-20dB/dec的折线段在频率为处穿过零分贝线直到振荡环节的交接频率处转折为斜率为-60dB/dec的线段。当交接频率为时，对数幅频特性如图2所示，,1,2,3,斜率为-20dB/dec的折线段的延长线（图中虚线）与横轴交点频率应为v，从交接频率开始，对数频特性转折成斜率为-60dB/dec的直线。(b)对数相频特性在图1上分别画出积分环节的相频特性（1）和振荡环节相频特性（2），然后将它们在纵轴方向上相加便得到系统开环相频特性曲线（3）。,图2例3对数幅频特性,例4已知系统的开环传递函数为试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。,解该系统开环传递函数可写成（1）它由一个放大环节、一个比例微分环节和一个惯性环节串联组成，其对应的频率特性表达式为（2）幅频特性和相频特性分别是（3）（4）,（1）极坐标图根据幅频特性和相频特性可得到当和时的极限值分别为（5）（6）当时，；当时，；当时，。即当惯性环节时间常数T大于比例微分环节的微分时间常数时，随着频率增加，幅值衰减，相角滞后，系统具有低通性质；反之，当时，随着频率增加，幅值加大，相角趋前，系统具有高通性质；,图1例4极坐标图,而当时，比例微分环节与惯性环节作用相互抵消，系统只起放大作用。三种情况的极坐标图如图1所示。（）伯德图由式（2）知，系统开环对数幅频特性渐近线有两个交接频率和，图2(a)、(b)、(c)分别绘制了当和三种情况下的伯德图。,由式（2）知，系统开环对数幅频特性渐近线有两个交接频率和，图2(a)、(b)、(c)分别绘制了当和三种情况下的伯德图。,图2例4Bode图,习题：P1494-8（1）（2）,例5已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。,解：该系统的开环频率特性表达式为它是由比例、积分、惯性和滞后环节串联组成。如果滞后时间常数很小而可以忽略不计时，系统的开环幅频和相频特性为对应的极坐标图和伯德图分别如图1和2所示。当滞后环节时间常数较大而不能忽略时，系统的开环幅频特性由于不受影响，但相频特性须加一滞后相角-57.3度，即对应的极坐标图和伯德图分别如图3和4所示。,比较图1与3和图2与4，我们会发现由于滞后环节的影响，频率特性的极坐标图对数相频特性曲线形状发生了很显著的变化，它对系统的性能，特别是系统的稳定性将产生很大的影响，有关判别系统稳定性的奈奎斯特判据将在下节介绍，这里不再赘述。,第四章频率特性,本章主要内容:4.I4.24.34.44.5,频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性,因此，对于最小相位系统，可以根据系统的对数幅频特性写出系统的传递函数或者频率特性。,Part4.4由伯德图求系统传递函数,最小相位系统：在S右半平面上既无极点，又无零点的传递函数称为最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。对于最小相位系统，幅频特性和相频特性是单值对应的。,例某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，确定该系统的传递函数。,解：由于对数幅频特性的低频段是-20dB/dec的直线，所以，系统的传递函数有一积分环节。根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的