第五讲 fuzzy集理论及应用

模糊现象模糊集及其基本运算模糊模式识别模糊综合评判,模糊集理论与应用（Fuzzysetandapplication),一、模糊与随机,模糊集合是对模糊现象或模糊概念的刻划；模糊现象:没有严格的界限划分而使得很难用精确的尺度来刻划的现象；自然界和人们的日常生活中，存在着大量的模糊现象和模糊概念:晴天，多云，阴天，小雨，大雨等；模糊数学就是从量上来研究和处理模糊现象的一门数学学科；,模糊现象,数学中研究的两种量,确定性的量,非确定性的量,随机性的量（概率统计的研究领域）模糊性的量（模糊数学的研究领域）,相同点:反映物质世界的不确定性,概率统计与模糊数学,不同点:统计学：探求事物是否发生的不确定性以及与之相关的量的规律。非“一因一果”而是“一因多果”的随机性；模糊数学:研究事物本身所固有的不精确性，摆脱了“非此即彼”的精确性，反映事物之间“亦此亦彼”模糊性。,1投掷一枚硬币，记A“硬币正面朝上”（概率（随机）事件）2B“张三是胖子”（模糊事件）；3C“明天天气会很冷”（随机模糊事件）。,例:,为模糊数学做出奠定性贡献的是美国控制论专家LAZadeh(扎德)，他于1965年在杂志InfomationandControl(L.A.Zadeh,Fuzzysets,Inform.andControl,8(1965):338-353)上的著名论文标志着模糊理论的产生。,Zadeh与模糊数学,1能将人的经验、知识等用适合计算机处理的形式表现出来2可以建立描述人的感觉、语言表达方式以及行动过程的模型；3能模拟人的思维、推理和判断过程；4压缩信息。,模糊系统具有的优点：,二、精确集与模糊集,对于一个的集合A，空间中任一元素x，要么xA，要么xA，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为：,A(x)集合A的特征函数。,（一）、普通集合与模糊集,1、普通集合,(a)隶属函数设U是论域，A是将任何uU映射为0，1上某个值的函数，即：A：U0，1uA(u)则称A为定义在U上的一个隶属函数,2、模糊集、隶属函数、隶属度的概念,(b)模糊集设A=A(u)|uU则称A为论域U上的一个模糊集。(c)隶属度A(u)称为u对模糊集A的隶属度。,例、设有论域：U=1,2,3,4,5，用模糊集表示出模糊概念“大数”。,解：设A表示“大数”的模糊集，A为其隶属函数。则有：A=0,0.1,0.5,0.8,1其中：A(1)=0，A(2)=0.1，A(3)=0.5，A(4)=0.8，A(5)=1,（三）、模糊集表示法,1、离散论域设论域U是离散的且为有限集：U=u1,u2,un,模糊集为：A=A(u1),A(u2),A(un)则可将A表示为下列形式之一：,A(ui)/ui表示ui对模糊集A的隶属度。如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.5/u4B=1/u1+0.7/u2+0.5/u4它们是相同的模糊集。,2、连续论域设论域U是连续的，则其模糊集可用实函数表示。,例、设有人的年龄论域U=0,100,求其“年老”和“年轻”这两个模糊概念的隶属函数。,例：,“年轻”和“年老”的隶属函数,表示偏向大的一方的模糊现象的模糊集的隶属函数均可通过S函数来定义。如模糊集“年老”，“热”，“高个子”，“大”，颜色“浓”等。,（四）、实际应用中经常用到的三类隶属函数,(1)S函数(偏大型隶属函数),（四）、实际应用中经常用到的三类隶属函数,表示偏向小的一方的模糊现象的模糊集的隶属函数均可通过S函数来定义；如模糊集“年轻”，“冷”，“矮个子”，“小”，颜色“淡”等。,(2)Z函数(偏小型隶属函数),表示趋于中间的模糊现象的模糊集的隶属函数均可通过S函数来定义；如模糊集“中年”，“适中”，“温和”，“平均”等。,（四）、实际应用中经常用到的三类隶属函数,(3)II函数(中间型隶属函数),（五）、模糊集运算,U上所有模糊集的全体记为(U)，即：(U)=A|A:U0，1,设A,B(U)，若对任意uU，都有：B(u)A(u)则称A包含B，记为：BA,1、包含运算,2、并、交、补运算设A,B(U)，分别称AB,AB为A与B的并集、交集，称AC为A的补集。,AB(u)=maxA(u),B(u)AB(u)=minA(u),B(u)Ac(u)=1-A(u),uU,它们的隶属函数分别为：,例、设U=u1,u2,u3A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3求：AB,AB及AC,AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3=0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3=0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3Ac=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3,三、两个模糊集之间的接近程度贴近度,1、贴近度的定义,（1）Hamming贴近度NH,2、常用的贴近度计算公式,（2）Euclid贴近度NE,2、常用的贴近度计算公式,（3）最大-最小贴近度NM,2、常用的贴近度计算公式,（4）最小平均贴近度NA,2、常用的贴近度计算公式,2、常用的贴近度计算公式,（5）格贴近度,“”称为极大一极小()复合运算，这种运算在模糊关系方程以及模糊神经网络等领域有着广泛的应用。,例、,由定义可求得：,四隶属函数的确定方法,模糊统计法三分法,隶属函数的确定方法,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,例、,选取n位合适的人，他们能理解“年轻人”这一概念，并可以用数量来近似描述，即每个人能根据自己对“年轻人”的理解定义出A*;他们独自认真考虑“年轻人”的含义后，报出他们各自认为适合“年轻人”这一概念最合适的年龄区间段;统计x027对“年轻人”的年龄区间A*的隶属频率；通过直方图求得x0的隶属度。,年青人年龄区间统计表（共129例）,27岁对年青人的隶属频率表,27岁对年青人的隶属频率表,五、模糊模式识别,1、直接模糊模式识别方法,2、间接模糊模式识别方法,六、模糊关系,1、模糊关系设Ui是（i=1,2,n）论域，R是U1U2Un上的一个模糊子集，则称R为U1U2Un上的一个n元模糊关系，记为：R=R(u1,u2,un)/(u1,u2,un)U1U2UnR(u1,u2,un)是模糊关系R的隶属函数,2、二元模糊关系,例、设有一组学生U:U=张三，李四，王五他们对球类运动V:V=篮球，排球，足球，乒乓球有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表示：,3、模糊关系的并、交与补,模糊关系的并、交与补与模糊集的并、交与补有相同的运算,合成方法：对隶属度的极小-极大化处理,极小隶属度,极大隶属度,4、模糊关系的复合,5、模糊矩阵,0.40.5R1R2=0.40.60.30.5,(,),例、设有如下两个模糊关系,七、模糊综合评判,模糊综合评判步骤,构建多因素组成的模糊集合（因素集u）；设定因素集的评审等级，组成评语模糊集（评判集v）；根据各单一因素对各个评审等级的归属程度构建模糊矩阵；通过模糊矩阵合成得到最终评价结果。,模糊综合评判问题的三个要素：因素集、评语集、评价集,模糊评判矩阵,评价集,评语集,因素集,一级评判：评判结果可由评判矩阵直接求得；多级评判：评判结果是多个一级评判的复合。,一级评判与多级评判,评判模型主要是建立在复合运算基础之上。模型只考虑了突出的因素而忽略了其余因素的影响。,特点：,优点：简单易行，且反映了许多实际问题的实质;,解决办法：采用一般的三角模算子来建立评判模型。,缺点：只考虑了主要因素而省略了其余的信息而使得多数信息白白浪费，对有些实际问题的刻划很不利。,三角模算子建立评判模型的方法（1）：,三角模算子建立评判模型的方法（2）：,例：对教师授课质量进行评估。设因素集F