角平分线的性质定理

15.4.1角平分线的性质,第15章轴对称图形与等腰三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,高效华星、美丽华星、幸福华星,我们华星学校打算建新校区，现在遇到一个问题需要我们同学们解决。如下图：学校的宿舍、食堂和足球场分别在A、B、C三点的位置，为了进行合理规划，现在要求教学楼到宿舍、食堂和足球场的路程相等，请问教学楼该如何选址？,情境导入,我们华星学校打算建新校区，现在又遇到另一个问题。如下图：学校的宿舍、食堂和足球场分别在A、B、C三点位置，并且每两点间有一条水泥主干道。为了进行合理规划，现在要求教学楼到AB、BC、AC三条主干道的距离都要相等。请问教学楼又该如何选址呢？,知识回顾1：什么是角？什么是角平分线？,角：两条有公共端点的射线组成的几何图形。角平分线：从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线。,B,P,C,A,知识回顾2：怎样作出线段的垂直平分线？你有哪些方法？,折叠法、测量法、尺规作图法。,你能作出已知角的角平分线吗？作角平分线是不是也有这样类似的三种方法呢？,活动探究1：折纸，折已知角的角平分线,通过折纸可以得到：折痕就是角平分线角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。,知识回顾3：你能用量角器画出一个角的角平分线吗？,方法：画出一个角，量出它的度数，再求出它一半的度数，再用量角器以角的一边为边，画出它一半度数的角，得出角平分线。,1.理解和掌握用尺规作角平分线方法;2.理解和掌握角平分线的性质。,学习目标,思考：下图是一个鲁班鲁大师发明的角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?,其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.,问题：如果没有此仪器，我们用直尺和圆规能作出角平分线吗？,探究2：请同学们根据下列的提示中思考如何使用尺规作角的平分线,提示：(1)已知什么？求作什么？(2)角平分线所分的两个角可不可以转化为两个三边相等的全等三角形的对应角？(3)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(4)在平分角的仪器中，另一组对应边也相等，如何在作图中用圆规来体现？,作法：1.以_为圆心，_长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；,2.分别以_为圆心，_的长为半径作弧，两条圆弧交于AOB内一点_；,3.作射线_；,_就是所求作AOB的平分线.,点O,任意,M、N,大于,P,OP,OP,尺规作图,A,B,N,M,思考：为什么OP是角平分线呢？,B,A,已知：OM=ON，MP=NP.求证：OP平分AOB.,证明：在OMP和ONP中，OM=ON，MP=NP，OP=OP，OMPONP,（SSS）MOP=NOP,即OP平分AOB.,思考：现在我们已经学会作角平分线。如果当AOB两边成一条直线，也就是AOB=180时，怎样作这个角的角平分线呢？这时的角平分线与直线AB有什么关系？,课后任务：如何过一点P作已知直线l的垂线？（结合课本P142页）,例1：用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等,A,课外知识：古代数学的三大难题之一：三等分角。在尺规作图的前提下此题无解。但是你会将一个角四等分吗？说出你的思路。,探究2：请同学们取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PEOB,点D、E为垂足，用刻度尺测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：,2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：_,C,O,B,A,PD=PE,结合课本P143页：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点。,该探究也可通过折纸完成。猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,讲授新课,验证猜想,已知：如图，AOC=BOC,点P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.,证明：,PDOA,PEOB，,PDO=PEO=90.,在PDO和PEO中，,PDO=PEO，,AOC=BOC，,OP=OP，,PDOPEO(AAS).,PD=PE.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.,应用所具备的条件：,一点：角平分线上的点二距离：点到角的两边的垂直距离,定理的作用：,证明线段相等.,数学语言：,OP是AOB的平分线，,PD=PE,推理的理由有两点，必须写完全，不能少了任何一个.,PDOA,PEOB，,判一判：（1）如下左图，AD平分BAC（已知），,=，(),角的平分线上的点到角的两边的距离相等,BDCD,(2)如上右图，DCAC，DBAB（已知）.,=,(),角的平分线上的点到角的两边的距离相等,BDCD,例2：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEAB,DFAC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.,证明：AD是BAC的角平分线，DEAB,DFAC，,DE=DF,DEB=DFC=90.,在RtBDE和RtCDF中，,RtBDERtCDF(HL).,EB=FC.,典例精析,例3:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_cm.,4,温馨提示：存在两条垂线段直接应用,典例精析,例4：如图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_.,