三角函数基本知识

常常见见三三角角函函数数 在平面直角坐标系xOy中，从点 O 引出一条射线 OP，设旋转角为，设 OP=r，P 点的坐标为 (x,y)。 在这个直角三角形中，y是的对边，x是的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方 法： 基本函数基本函数英文英文表达式表达式语言描述语言描述 正弦函数 Sinesin =y/r 角 的对边比斜边 余弦函数 Cosinecos =x/r 角 的邻边比斜边 正切函数 Tangenttan =y/x 角 的对边比邻边 余切函数 Cotangentcot =x/y 角 的邻边比对边 正割函数 Secantsec =r/x 角 的斜边比邻边 余割函数 Cosecantcsc =r/y 角 的斜边比对边 注：tan、cot 曾被写作 tg、ctg，现已不用这种写法。 单单位位圆圆定定义义 六个三角函数也可以依据半径为1 中心为原点的 单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有 大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和 负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重 要的三角函数都包含了。根据勾股定理， 三角函数 单位圆的 方程是：x2+y2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是 负 角。设一个过 原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos 和 sin 。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为 1，所以有 sin = y/1 和 cos = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但 保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。 对于大于 2 或小于等于 2 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余 弦变成了周期为 2 的周期函数 ：对于任何角度 和任何整数 k。 周期函数的 最小正周期 叫做这个函数的 “基本周期 ”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是 全圆，也就是 2 弧度或 360；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 弧度或 180。 上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。 其他四个三角函数的定义 在正切函数的图像中，在角 k 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2) 的时候变化迅速。正 切函数的图像在 = (k + 1/2) 有垂直渐近线。这是因为在 从左侧接进 (k + 1/2) 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2) 的时候函数接近负无穷。 另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何 定义。特别 三角函数 是，对于这个圆的 弦 AB，这里的 是对向角的一半， sin 是 AC（半弦），这是印度的 阿 耶波多介入的定义。 cos 是水平距离 OC，versin = 1-cos 是 CD。tan 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。 cot 是另一个切线段 AF。 sec = OE 和 csc = OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平 和垂直轴的投影。DE 是 exsec = sec -1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出 正割和正切函数在 接近 /2 的时候发散，而余割和余切在 接近零的时候发散。 三三角角函函数数线线 依据单位圆定义， 三角函数线 我们可以做三个 有向线段 （向量）来表示正弦、余弦、正切的值。 如图所示，圆 O 是一个单位圆， P 是的终边与单位圆上的交点， M 点是P在x轴的投影， S(1,0)是圆 O 与 x 轴正半轴的交点，过 S 点做圆 O 的切线l。 那么向量 M MP P 对应的就是的正弦值，向量 O OM M 对应的就是余弦值。 OP 的延长线（或反向延长 线）与l的交点为 T，则向量 S ST T 对应的就是 正切值。向量的起止点 不不能能颠颠倒倒 ，因为其方向是有意 义的。 借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角 的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。 基基本本公公式式 特特殊殊角角的的三三角角函函数数 角度 sincostancot 0010 无意义 301/23/23/33 452/22/211 603/21/233/3 9010 无意义 0 1800-10 无意义 270-10 无意义 0 同同角角三三角角函函数数关关系系式式 平方关系 sin2()+cos2()=1 cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=1- 2sin2(a)=2cos2(a)-1 sin(2a)=2sin(a)cos(a) tan2()+1=1/cos2() 2sin2(a)=1-cos(2a) cot2()+1=1/sin2(a) 积的关系 sin=tancos cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot 倒数关系 tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的关系 sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 三角函数 直角三角 三角函数 形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比 斜边 正切等于对边比邻边 , 对称性 180 度- 的终边和 的终边关于 y 轴对称。 - 的终边和 的终边关于 x 轴对称。 180 度+ 的终边和 的终边关于原点对称。 90 度- 的终边和 的终边关于 y=x 对称。 诱诱导导公公式式 公式一： 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 k 是整数 sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设 为任意角，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的 关系 sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角 与 - 的三角函数值之间的关系 sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的 关系 sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的 关系 sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系 sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan 诱导公式 的表格以及推导方法（定名法则和定号法则） sinsincoscos tantancotcotsecseccsccsc 360k+sincostancotseccsc 90-cossincottancscsec 90+cos-sin-cot-tan-cscsec 180-sin-cos-tan-cot-seccsc 180+-sin-costancot-sec-csc 270-cos-sincottan-csc-sec 270+-cossin-cot-tancsc-sec 360-sincos-tan-cotsec-csc -sincos-tan-cotsec-csc 定名法则 90的奇数倍 + 的三角函数，其绝对值与 三角函数的绝对值互为 余函数。90的偶数倍 + 的三角函数与 的三角函数绝对值相同。也就是 “奇余偶同，奇变偶不变 ” 定号法则 将 看做锐角（注意是 “看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限 定号，符号看象限 ”.（或为“奇奇变变偶偶不不变变，符符号号看看象象限限 ” 2 在 K/中如果 K 为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函 数中 所在象限的正负号。关于 正正负负号号有有可可口口诀诀；一一全全二二正正弦弦，三三切切四四余余弦弦，即第一象限全部为 正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。） 比如:90+。定名： 90是 90的奇数倍，所以应取余函数；定号：将 看做锐角，那么 90+ 是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90+)=cos , cos(90+)-sin 这个非常神奇，屡试不爽 还有一个口诀 “纵纵变变横横不不变变，符符号号看看象象限限 ”，例如： sin(90+)，90的终边在纵轴上， 所以函数名变为相反的函数名，即cos，将 看做锐角，那么 90+ 是第二象限角，第二象限 角的正弦为正，所以 sin(90+)=cos 两两角角和和与与差差的的三三角角函函数数 cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 和和差差化化积积公公式式 sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 积积化化和和差差公公式式 sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 倍倍角角公公式式 sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=(cos)2-(sin)2=2(cos)2-1=1-2(sin)2 tan(2)=2tan/(1-tan2) cot(2)=(cot2-1)/(2cot) sec(2)=sec2/(1-tan2) csc(2)=1/2*seccsc 三三倍倍角角公公式式 sin(3) = 3sin-4sin3 = 4sinsin(60+)sin(60-) cos(3) = 4cos3-3cos = 4coscos(60+)cos(60-) tan(3) = (3tan-tan3)/(1-3tan2) = tantan(/3+)tan(/3-) cot(3)=(cot3-3cot)/(3cot2-1) n 倍倍角角公公式式 sin(n)=ncos(n-1)sin-C(n,3)cos(n-3)sin3+C(n,5)cos(n- 5)sin5- cos(n)=cosn-C(n,2)cos(n-2)sin2+C(n,4)cos(n-4)sin4- 半半角角公公式式 sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin cot(/2)=(1+cos)/(1-cos)=(1+cos)/sin=sin/(1-cos) sec(/2)=(2sec/(sec+1) csc(/2)=(2sec/(sec-1) 辅辅助助角角公公式式 Asin+Bcos=(A2+B2)sin(+）（tan=B/A） Asin+Bcos=(A2+B2)cos(-）（tan=A/B） 万万能能公公式式 sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2) 降降幂幂公公式式 sin2=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2=(1-cos(2)/(1+cos(2) 三三角角和和的的三三角角函函数数 sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin- sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin- sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan- tantan-tantan) 其其它它公公式式 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) cos30=sin60 sin30=cos60 推推导导公公式式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=sin(/2)+cos(/2)2 三三角角形形与与三三角角函函数数 1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中 R 为外接圆的半径 ) 2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC 3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的 2 倍，即 a2=b2+c2-2bccosA 4、正切定理 (napier 比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值， 即（a-b）/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2) 5、三角形中的恒等式： 对于任意非直角三角形中 ,如三角形 ABC,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 三三角角函函数数图图像像： 定定义义域域和和值值域域 sin(x),cos(x)的定义域为 R,值域为-1,1 tan(x)的定义域为 x 不等于 /2+k,值域为 R cot(x)的定义域为 x 不等于 k,值域为 R y=asin(x)+bcos(x)+c 的值域为 c-(a2+b2) , c+(a2+b2） 初初等等三三角角函函数数导导数数 y=sinx-y=cosx y=cosx-y=-sinx y=tanx-y=1/cos2x =sec2x y=cotx-y= -1/sin2x = - csc2x y=secx-y=secxtanx y=cscx-y=-cscxcotx y=arcsinx-y=1/(1-x2) y=arccosx-y= -1/(1-x2) y=arctanx-y=1/(1+x2) y=arccotx-y= -1/(1+x2) 倍倍半半角角规规律律 如果角 a 的余弦值为 1/2，那么 a/2 的余弦值为 3/2 反反三三角角函函数数 三角函数的 反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦 Arccos x，反正切 Arctan x，反余切 Arccot x 等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x 的角。为 限制反三角函数 为单值函数，将反正弦函数的值y 限在 y=-/2y/2，将 y 为反正弦函数的 主值，记为 y=arcsin x；相应地，反余弦函数 y=arccos x 的主值限在 0y；反正切函数 y=arctan x 的主值限在 -/2y/2；反余切函数 y=arccot x 的主值限在 0y。 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像 与其原函数关于函数 y=x 对称。其概念首先由 欧拉提出，并且首先使用了 arc+函数名的形式表示 反三角函数，而不是 f-1(x). 反三角函数主要是三个： y=arcsin(x)，定义域 -1,1，值域-/2,/2，图象用红色线条； y=arccos(x)，定义域 -1,1，值域0,，图象用兰色线条； y=arctan(x)，定义域 (-,+)，值域(-/2,/2)，图象用绿色线条； sinarcsin(x)=x,定义域-1,1,值域 【-/2,/2】 证明方法如下：设 arcsin(x)=y,则 sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得 其他几个用类似方法可得。 三三角角函函数数的的性性质质定定理理 三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。 正正弦弦定定理理 于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 其中 R 是三角形的外接圆半径。 它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公 共数 (sinA)/a 是通过 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1） 已知两个角和一个边求未知边和角（ 2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角 测量中常见情况。 余余弦弦定定理理 对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： c2 = a2 + b2 - 2abcosC 也可表示为： cosC = （a2+b2-c2）/ 2ab 这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边 和一个角已知时确定未知的数据。 如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理 的这种歧义情况。 正正切切定定理理 对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： (a+b)/(a-b) = tan(A+B)/2/tan(A-B)/2 三三角角函函数数在在解解三三次次方方程程中中的的应应用用 一元三次方程的解是三个不相等的实根时，可用三角函数知识求出方程的解。 一元三次方程 aX3bX2cXd=0，（a，b，c，dR，且 a0） 重根判别式： A=b23ac；B=bc9ad；C=c23bd， 总判别式： =B24AC。 当 =B24AC0 时，盛金公式 ： X=(b2A(1/2)cos(/3)/(3a)； X(2，3)=(bA(1/2)(cos(/3)3(1/2)sin(/3)/(3a)， 其中 =arccosT，T=(2Ab3aB)/(2A(3/2)，(A0，1T1)。 试题精选： 1.已知中，的对边分别为若且，则 ABCCBA, ,a b c62ac75A o b A.2 B4 C4 D2 32 362 【答案】A 【解析】 0000000 26 sinsin75sin(3045 )sin30 cos45sin45 cos30 4 A 由可知,所以,62ac 0 75C 0 30B 1 sin 2 B 由正弦定理得,故选 A 261 sin2 sin226 4 a bB A 2.函数是 1) 4 (cos2 2 xy A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 2 2 【答案】A 【解析】因为为奇函数,所以选 A. 2 2cos () 1cos 2sin2 42 yxxx 2 2 T 3.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（C）cos 2yx3 4 3 ，0| （A） （B） （C） (D) 6 4 3 2 解: 函数的图像关于点中心对称 cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故选 C 4 2 3 k 4 2() 3 kkZ min | 3 4.若，则函数的最大值为 。 42 x 3 tan2 tanyxx 解:令, tan,xt1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 5.已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )a( )1sinf xaax 答案：D 【解析】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为，而 D 不符合要求，它 2 ,1,2TaT a 的振幅大于 1，但周期反而大于了2 6.“”是“”的 6 1 cos2 2 A 充分而不必要条件B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案答案】A .w【解析解析】本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础 知识、基本运算的考查. 当时， 6 1 cos2cos 32 反之，当时，有， 1 cos2 2 22 36 kkkZ 或，故应选 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22 36 kkkZ 7.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是( ).sin2yx 4 A. B. C. D.cos2yx 2 2cosyx) 4 2sin(1 xy 2 2sinyx 【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即sin2yx 4 sin2() 4 yx 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为sin(2)cos2 2 yxx ,故选 B. 2 1 cos22cosyxx 答案:B 8.已知ABC 中，则 12 cot 5 A cos A (A) (B) (C) (D) 12 13 5 13 5 13 12 13 答案：D 解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由 cotA=知 A 为钝角，cosA0, -）的图像如图所示，则 =_ 解析：由图可知， 544 ,2 ,1 255 89 , 510 Tx 把代入y=si n有： 1=si n 答案： 9 10 24若 x(0, )则 2tanx+tan(-x)的最小值为 2. 2 2 2 【答案】：2 2 【解析】由，知所以(0,) 2 x 1 tan0,tan()cot0, 2tan 当且仅当时取等号，即最小值是。 1 2tantan()2tan2 2, 2tan tan22 2 25.在极坐标系中，由三条直线，围成图形的面积是_. 0 3 1sincos 【答案】 33 4 【解析】化为普通方程，分别为：y0，yx，xy1，画出三条直线的图象如右图，可求得 A（3 ，） ，B（1,0） ，三角形 AOB 的面积为： 2 13 2 33 2 33 1 2 1 33 4 26.当，不等式成立，则实数的取值范围是时10 xkx x 2 sin k _. 【答案】k1 【解析】作出与的图象，要使不等式成立，由图可知须 k1。 2 sin 1 x y kxy 2 kx x 2 sin 27已知函数.项数为 27 的等差数列满足，且公差xxxftansin)( n a 22 ， n a .若，则当=_是，.0d0)()()( 2721 afafafk0)( k af 【答案】14 【解析】函数在 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对xxxftansin)() 2 2 ， 称，因为， 14262271 2aaaaa 所以，所以当时，. 12722614 ()()()()()0f af af af af a 14k 0)( k af 28.已知函数则的值为 .( )()cossin , 4 f xfxx () 4 f 【答案】1 【解析】因为所以( )() sincos 4 fxfxx ()() sincos 4444 ff 故()21 4 f ()()cossin()1 44444 fff 29已知向量与互相垂直，其中)2,(sina)cos, 1 (b) 2 , 0( （1）求和的值sincos （2）若，,求的值cos53)cos(50 2 cos 【解析】 （）,即ab v v Qsin2cos0a b v vg sin2cos 又, ,即, 2 sincos1 22 4coscos1 2 1 cos 5 2 4 sin 5 又 , 2 5 (0,)sin 25 5 cos 5 (2) 5cos()5(coscossinsin )5cos2 5sin3 5cos , ,即cossin 222 cossin1 cos 2 1 cos 2 又 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0 2 2 cos 2 30.在中，角所对的边分别为，且满足，ABC, ,A B C, ,a b c 2 5 cos 25 A （I）求的面积； （II）若，求的值3AB AC ABC6bca 解析：（I）因为，又由， 2 5 cos 25 A 2 34 cos2cos1,sin 255 A AA 3AB AC 得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos3,bcA 5bc 1 sin2 2 ABC SbcA （II）对于，又，或，由余弦定理得5bc 6bc5,1bc1,5bc ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 222 2cos20abcbcA2 5a 31.已知函数.( )2sin()cosf xxx （）求的最小正周期；( )f x （）求在区间上的最大值和最小值.( )f x, 6 2 【解析解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础 知识，主要考查基本运算能力 （）， 2sincos2sin cossin2f xxxxxx 函数的最小正周期为.( )f x （）由，2 623 xx 3 sin21 2 x 在区间上的最大值为 1，最小值为.( )f x, 6 2 3 2 32已知 为第二象限角，且 sin=求的值 , 4 15 12cos2sin ) 4 sin( 解： 2 cos2cossin2 )cos(sin 2 2 12cos2sin ) 4 sin( . )cos(sincos4 )cos(sin2 当为第二象限角，且时， ， 4 15 sin 4 1 cos, 0cossin 所以= 12cos2sin ) 4 sin( . 2 cos4 2 33设，且， 9 1 ) 2 cos( 3 2 ) 2 sin( 22 0 求的值)cos( 解：，。 2 2 0 24224 由，得： 9 1 ) 2 cos( 3 2 ) 2 sin( ， 9 54 ) 2 sin( 3 5 ) 2 cos( 27 57 ) 2 () 2 (cos 2 cos ， . 729 239 1 2 cos2)cos( 2 34已知函数 xxxxx