线性代数全集ppt课件VIP

.,课程简介,线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系,问题.线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式,来表达的.最简单的线性问题就是解线性方程组.,行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，,也推动了线性代数的发展.向量概念的引入，形成了向,量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加,以讨论.因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系,的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.,.,它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加强这些方面的训练。,.,第一章行列式,第二章矩阵及其运算,第三章矩阵的初等变换及线性方程组,第四章向量组的线性相关性,基础,基本内容,用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容,第五章相似矩阵及二次型,矩阵理论,.,一、二元线性方程组与二阶行列式,用消元法解二元(一次)线性方程组:,第一章行列式,(1)(2),(1)a22:,a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:,a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去x2,得,(a11a22a12a21)x1=b1a22b2a12;,1.1二阶与三阶行列式,.,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,.,由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表,定义,即,.,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,.,.,.,.,则二元线性方程组的解为,.,例1,解,.,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,.,(2)对角线法则,注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,.,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,.,若记,或,.,记,即,.,.,得,.,得,.,则三元线性方程组的解为:,.,例,解,按对角线法则，有,.,例3,解,方程左端,.,例4解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,.,同理可得,故方程组的解为:,.,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,三、小结,.,思考题,.,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数的线性方程组,又,得,.,故所求多项式为,.,1.2全排列及其逆序数,引例:用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？,这是一个大家熟知的问题,答案是:3!=6.,将此问题推广:把n个不同的元素按先后次序排成一列,共有多少种不同的排法.,定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(或排列).n个不同的元素的所有排列的种数,通常用Pn表示,称为排列数.,Pn=n(n1)(n2)21=n!,一、全排列,.,二、排列的逆序数,定义:在一个排列i1i2isitin中,若数isit,则称这两个数组成一个逆序.,例如:排列32514中,我们规定各元素之间有一个标准次序.以n个不同的自然数为例,规定由小到大为标准次序.,32514,定义:一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,前面的数比后面的数大,.,32514,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0=0+1+0+3+1=5.,例如:排列32514中,计算排列逆序数的方法,逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.,方法1:分别计算出排在1,2,n前面比它大的数码的个数并求和,即先分别算出1,2,n这n个元素的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,.,方法2:依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法3:依次计算出排列中每个元素后面比它小的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,.,例1:求排列32514的逆序数.,解:在排列32514中,3排在首位,则3的逆序为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故2的逆序为1;,32514,没有比5大的数,故其逆序为0;,个,故其逆序为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序为1.,5的前面,1的前面比1大的数有3,即,于是排列32514的逆序数为t=0+1+0+3+1=5.,.,解:,此排列为偶排列.,例2:计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.,(1)217986354.,217986354,0,1,0,0,1,3,4,4,5,于是排列217986354的逆序数为:,t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.,(2)n(n1)(n2)21,解:,n(n1)(n2)21,0,1,2,(n1),(n2),t=0+1+2+(n2)+(n1),于是排列n(n1)(n2)21的逆序数为:,.,此排列当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时为奇排列.,(3)(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k.,(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k,解:,0,1,2,1,2,3,3,(k1),(k1),k,t=0+1+1+2+2+(k1)+(k1)+k,于是排列(2k)1(2k1)2(2k2)(k1)(k+1)k的逆序数为:,此排列当k为偶数时为偶排列,当k为奇数时为奇排列.,.,1.n个不同的元素的所有排列种数为n!个;2.排列具有奇偶性;3.计算排列逆序数常用的方法.,三、小结,.,1.3n阶行列式的定义,一、概念的引入,三阶行列式,说明(1)三阶行列式共有6项,即3!项.,说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.,说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列).,.,例如a13a21a32,将行下标标准排列,列下标排列312的逆序数为,t(312)=1+1=2,偶排列.a13a21a32的前面取+号.,例如a11a23a32,将行下标标准排列,列下标排列132的逆序数为,t(132)=0+1=1,奇排列.a11a23a32的前面取号.,其中是对列下标的所有排列求和(3!项),t是列下标排列p1p2p3的逆序数.,.,二、n阶行列式的定义,定义:设由n2个数排成一个n行n列的数表,作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号(1)t,得到形如,其中p1p2pn为自然数1,2,n的一个排列,t为排列p1p2pn的逆序数.,的项,.,所有这n!项的代数和,称为(由上述数表构成的)n阶行列式.,记作,简记作det(aij).数aij称为行列式det(aij)(第i行第j列)的元素.,即,.,说明1.行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;说明2.n阶行列式是n!项的代数和;说明3.n阶行列式的每项都是位于不同行,不同列n个元素的乘积,的符号为(1)t;,说明4.一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号相混淆,一般不使用此符号.,.,例1:计算对角行列式,解:分析.,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.,所以只能p1=4;,若p14,则,即行列式中非零的项为:,(1)t(4321)a14a23a32a41,即,.,例2:计算上三角行列式,解:分析,展开式中项的一般形式是,所以非零的项只可能是:a11a22ann.,从最后一行开始讨论非零项.显然,pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即,.,显然,=1458,同理可得下三角行列式,.,对角行列式,.,例5:设,证明:D1=D2.,中b的指数正好是a的行标与列标的差,.,证:由行列式定义有,.,.,由于p1+p2+pn=1+2+n,所以,故,.,行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式.n阶行列式共有n!项,每项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,.,思考题,已知多项式,求x3的系数.,思考题解答,含x3的项有仅两项,即,对应于,=x3,+(2x3),故x3的系数为(1).,(1)t(1234)a11a22a33a44,+(1)t(1243)a11a22a34a43,.,一、对换的定义,1.4对换,定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.,a1a2alabb1bm,a1a2albab1bm,a1a2alab1bmbc1cn,a1a2albb1bmac1cn,例如,.,二、对换与排列奇偶性的关系,定理1:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.,即除a,b外,其它元素的逆序数不改变.,证明:先考虑相邻对换的情形.,a1a2alabb1bm,a1a2albab1bm,例如,因此,相邻对换排列改变奇偶性.,当ab时,对换后a的逆序数不变,b的逆序数增加1;,.,a1a2alab1bmbc1cn,a1a2albb1bmac1cn,对一般对换的情形,例如,经过m次相邻对换,排列a1a2alab1bmbc1cn对,换为a1a2alabb1bmc1cn,再经过m+1次相邻对换,对,换为a1a2albb1bmac1cn,共经过了2m+1次相邻对换.,所以,由相邻对换的结果知:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.,.,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,对一般对换的情形,例如,a1a2alab1bmbc1cn,a1a2albb1bmac1cn,.,推论:奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,证明:由定理1知,对换的次数就是排列奇偶性的,变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),论成立.,因此,推,.,下面讨论行列式的另一种定义形式.对于行列式的任一项,其中12ijn为自然排列,其逆序数0,t为列标排列p1p2pipjpn的逆序数,对换元素,.,此时,行标排列12jin的逆序为奇数,而列标排列p1p2pjpipn的逆序也改变了一次奇偶性.,换后行标排列逆序与列标排列逆序之和的奇偶性不变,即t(1jin)+t(p1pjpipn)与t(p1pipjpn)具有相同的奇偶性.,因此,对,故,.,一般地,经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为(1)t.,因此,总可以经过,若干次对换行列式的任一项,得,其中s为行下标排列q1q2qn的逆序数.,.,定理2:n阶行列式也可定义为,其中s为行标排列q1q2qn的逆序数,并按行标排列求和.,定理3:n阶行列式也可定义为,其中t为行标排列p1p2pn与列标排列q1q2qn的逆序数之和.并按行标排列(或列标排列)求和.,因此,我们可以得到行列式的另一种定义形式:,根据以上讨论,还可以如下定义,.,例1:试判断a14a23a31a42a56a65和a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项.,解:a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列,列标排列的逆序数为:,t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数),所以a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项.,将a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶数)所以a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式中的项.,.,解:将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数)所以a23a31a42a56a14a65的前边应带正号.,例2:在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号.(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.,.,项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之和为t(341562)+t(234165),=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶数)所以a32a43a14a51a66a25的前边应带正号.,.,例3:用行列式的定义计算,解:由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素,所以Dn=(1)ta1n-1a2n-2an-11ann,Dn=(1)t12(n1)n=(1)tn!,即,而,t=t(n1)(n2)21n=0+1+2+(n3)+(n2)+0=(n1)(n2)/2,所以,.,三、小结,1.对换排列中的任意两个元素,排列改变奇偶性.2.行列式的三种定义方法:,其中r为行标排列p1p2pn与列标排列q1q2qn的逆序数之和.并按行标排列(或列标排列)求和.,.,思考题,证明在全部n阶排列中(n2),奇偶排列各占一半.,思考题解答,证:设在全部n阶排列中有s个奇排列,t个偶排列,则s+t=n！现来证s=t.,若将所有s个奇排列的前两个数作对换,则这s个奇排列全变成偶排列,故必有s=t=,若将所有t个偶排列的前两个数作对换,则这t个偶排列全变成奇排列,如此产生的s个偶排列不会超,过所有的s个奇排列,所以ts.,过所有的t个偶排列,所以st.,如此产生的t个奇排列不会超,.,1.5行列式的性质,一、行列式的性质,行列式DT称为行列式D的转置行列式.,记,将D的行列互换就得到,.,证明:记行列式D=det(aij)的转置行列式为:,性质1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.,按定义,即bij=aji(i,j=1,2,n),.,又由行列式的另一种表示得,所以,DT=D,结论成立,说明:性质1行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.,.,性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.,证明:设行列式,.,是由行列式,互换i,j(ij时，,则称A为上三角矩阵.,若当ij时,.,即C为上三角矩阵.,.,方阵的幂和方阵的多项式,定义,设A是n阶方阵，k个A的连乘积称为A的,k次幂，记作,即,当m，k为正整数时，有,只有方阵能定义幂,当AB不可交换时，一般,当AB可交换时，,.,定义设,是x的k次多项式，A是n阶方阵，则称,为方阵A的n次多项式.,.,若f(x)，g(x)为多项式，A、B为n阶方阵，则,f(A)g(A)=g(A)f(A),当AB不可交换时，一般,.,特别当矩阵为对角阵=diag(1,2,n)时,则,f()=a0E+a1+akk,.,.,方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.,例如,(E+A)(2EA)=2E+AA2,(EA)3=E3A+3A2A3.,因为单位矩阵E与任意同阶方阵可交换，所以有,.,解:,例4:,.,由此归纳出,.,用数学归纳法证明.当k=2时,显然成立.,假设,当k=n时结论成立,对k=n+1时,.,所以对于任意的k都有:,也可利用二项式定理展开计算.,.,记,于是,注意到：,.,即当,时，,所以,.,.,四、矩阵的转置,定义:把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.,例如:,.,(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;,转置矩阵的运算性质,一般地,.,证明（4）,设,首先容易看到,与,为同型矩阵.,因为,所以,的第i行第j列,的元素为,.,又因为,中第i行的元素为B中第i列的元素,中第j列的元素为A中第j行的元素,于是,的第i行第j列元素为,故,.,解法1:因为,所以,解法2:,(AB)T=BTAT,.,例6：设,（1）,的第i行第j列的元素为,（2）,的第i行第j列的元素为,（3）,的第i行第j列的元素为,.,设A=(aij)为n阶方阵,对任意i,j,如果aij=aji都成立,则称A为对称矩阵;如果aij=aji都成立,则称A为反对称矩阵;,显然，若A是反对称矩阵，那么对任意i，有,.,由矩阵转置和对称矩阵、反对称矩阵的定义可得:,方阵A为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.方阵A为反对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.,.,证明:因为,例7:设列矩阵X=(x1x2xn)T,满足XTX=1,E为n阶单位矩阵,H=E2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=E.,HT=(E2XXT)T=ET2(XXT)T=E2XXT=H.,所以,H为对称矩阵.,=E2E(2XXT)(2XXT)E+(2XXT)(2XXT)=E4XXT+4(XXT)(XXT)=E4XXT+4X(XTX)XT=E4XXT+4XXT=E,HHT=H2=(E2XXT)2,.,例8:证明任一n阶方阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明:设C=A+AT,所以,C为对称矩阵.,从而,命题得证.,则CT=(A+AT)T=AT+A=C,设B=AAT,则BT=(AAT)T=ATA=B,所以,B为反对称矩阵.,.,五、方阵的行列式,定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.,例如:,则,方阵行列式的运算性质,|AT|=|A|;|kA|=kn|A|;(3)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.,.,定理：设A、B是两个n阶方阵，则,思路：利用分块行列式的结论，行列式的性质6及矩阵乘法的定义.,对于同阶方阵A和B，一般ABBA，但是|AB|=|BA|,.,.,继续做,.,重要例子,例9.,设,矩阵A的伴随矩阵注意其元素的下标,.,证：设,其中,于是,.,两边取行列式得:,因为,所以,类似可证：,.,六、共轭矩阵,定义:当A=(aij)为复矩阵时,用表示aij的共轭复数,记,称为A的共轭矩阵.,运算性质,设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的,则:,.,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,五、小结,(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.(3)矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同.,注意,.,思考题,思考题解答,设A与B为n阶方阵,等式A2B2=(A+B)(AB)成立的充要条件是什么?,答:因为(A+B)(AB)=A2+BAABB2,故等式A2B2=(A+B)(AB)成立的充要条件是:,AB=BA.,.,作业：P53543，4，7，9，10,.,在数的运算中,当数a0时,有aa-1=a-1a=1.,在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A-1,使得,AA-1=A-1A=E,则矩阵A称为可逆矩阵,称A-1为A逆阵.,一、逆矩阵的概念和性质,2.3逆矩阵,.,或者从线性变换的观点来看：,给定线性变换,若记其系数矩阵,则线性变换可记为：,.,若,记,则上式可以写作：,这是一个从Y到X的线性变换，,它是线性变换,的逆变换.,.,为恒等变换,则有：,.,定义:对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的,并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1,即,（1）A与,为同阶方阵；,（2）若B是A的逆矩阵，那么A也是B的逆矩阵;,(3),.,例如:设,由于AB=BA=E,所以B为A的逆矩阵.,.,说明:若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.,事实上:若设B和C是A的逆矩阵,则有,所以,A的逆矩阵是唯一的,即,AB=BA=E,AC=CA=E,可得:,B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.,B=C=A-1.,.,解:利用待定系数法.,即,则,.,又因为,则,解得,所以,即,AB=BA=E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.,.,证明:若A可逆,则有A-1,使得AA-1=E.,定理1:矩阵A可逆的充要条件是|A|0,且,其中A*为矩阵A的伴随矩阵.,故|A|A-1|=|E|=1,所以,|A|0.,.,由伴随矩阵的性质:AA*=A*A=|A|E,知,当|A|0时,按逆矩阵的定义得,.,说明：,（1）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件，,并给出了逆矩阵的一种求法公式法.,(2)上（下）三角矩阵可逆当且仅当,主对角元全不为0，且当,时,这里逆矩阵由定义得到！,.,若,当12n0时，A可逆，且,.,例2、当a，b满足什么条件时，矩阵A不可逆，其中,.,解：,.,由矩阵可逆的充要条件可知：,当a=1或b=2时，A不可逆.,.,当|A|=0时,称A为奇异矩阵,否则称A为非奇异矩阵.,由此可得,A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.,若A可逆，那么由,AB=O,B=O,由AB=AC,B=C,.,证明:由AB=E得,|A|B|=|E|=1,推论:若AB=E(或BA=E),则B=A-1.,故|A|0.,因而,A-1存在,于是,B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.,故结论成立.,推论说明：若ABE，则一定有BAE.,.,当|A|0时,定义,A0=E,A-k=(A-1)k(k为正整数).,且此时对任意整数,有,AA=A+,(A)=A.,.,逆矩阵的运算性质,(1)若矩阵A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.,(2)若矩阵A可逆,且0,则A亦可逆,且,.,若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.,证明:,(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以,(AB)-1=B-1A-1.,一般地,.,证明:,(4)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.,AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以,(AT)-1=(A-1)T.,求转置和求逆可以换序.,.,(5)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.,证明:,因为AA-1=E,所以|A|A-1|=|E|=1,因此,|A-1|=|A|-1.,.,注意：,（1）当A，B可逆时，A+B不一定可逆；,即使A+B可逆，一般,反例：设A可逆，取B=A，,显然B可逆，但,A+B=O不可逆.,.,取Adiag（2，1），Bdiag（1，2），,此时A+B=diag(3,1)可逆，且,显然,.,解:因为,二、关于逆矩阵的求法,所以A-1存在.,.,同理可得,所以,故,.,解:,例4:下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩阵.,所以,A可逆.,由于,.,同理可得,所以,由于,故B不可逆.,.,解:用伴随矩阵的方法求A逆阵.,|A|=adbc0.,A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.,设,则A可逆且,.,则,求二阶矩阵A的逆可用“两换一除”的方法,其做法如下:,先将矩阵A中的主对角元素调换其位置,再将次对角元素调换其符号,最后用A的行列式|A|除矩阵A的每一个元素,即可得A的逆矩阵A-1.,.,利用公式求A的逆矩阵，要注意：,（1）不要忘记除以|A|;,(2)注意A的伴随矩阵的定义