数字信号处理资料合集数字信号处理终稿

,沈慧张佳丽米丽沛耿星杰王瑞雪王勃杨洋郑冠儒王冠一,离散随机过程与非参数化谱估计,参与人：,2015/10/19,主讲：王勃,Outline,1.离散随机过程介绍2.谱估计概述3.非参数化谱估计介绍4.非参数化谱估计总结5.实例分析,Outline,1.离散随机过程介绍2.谱估计概述3.非参数化谱估计介绍4.非参数化谱估计总结5.实例分析,1.离散随机过程定义,统计学角度：离散随机变量+有序时间信息离散随机过程信号分类角度：确定信号随机信号离散随机信号,随机信号的幅相随时间做无规律变化，无法用确定的时间函数来表示。随机信号样本无穷多，不满足FT条件，随机信号是功率信号。平稳随机信号的统计规律是确定的，可以用统计学方法描述平稳随机信号。,1.离散随机过程描述随机过程的统计特性,数学期望：描述随机信号的平均值。均方值(二阶原点矩)：描述信号的平均功率。自相关函数：描述随机信号的每两个具有一定时间间隔的幅度值之间的联系程度的数值，它是时间间隔的一个函数。其峰值表征周期成分。互相关函数：描述两个信号之间的相关性。方差、自协方差、互协方差、高阶矩等统计特征。,统计特性,1.离散随机过程自相关函数定义（离散）和统计原理,当m=0时自相关函数取得最大值，依定义2，此时最大值表示均方差。,定义1：,定义2：,各态遍历单一样本,广义平稳,集总平均：定义2中N求和的平均，需要无穷多样本。时间平均：有限时间样本，在时域内的求和平均。各态遍历性：观察时间足够长的平稳过程的一个样本函数的时间平均等于其集总平均，可以用其任一个样本来得到其数字特征。估计的偏差：即估计值的均值和真值的差。,1.离散随机过程自相关函数定义（离散）和统计原理,定义1：,定义2：,各态遍历单一样本,广义平稳,估计的质量评价：,定义估计的偏差：,估计为无偏估计,若,若,估计为渐近无偏估计,当m=0时自相关函数取得最大值，依定义2，此时最大值表示均方差。,1.离散随机过程自相关函数的估计,估计1：,估计2：,（渐近无偏）,（无偏）,对估计1的说明：,是三角窗，当N时w(m)1，是数据截短后产生的矩形窗在做自相关时产生的。,Outline,1.离散随机过程介绍2.谱估计概述3.非参数化谱估计介绍4.非参数化谱估计总结5.实例分析,2.谱估计概述谱估计产生的背景,一般来讲，能量信号的FT收敛，而功率信号FT通常不收敛。实际信号多为随机信号，随机信号大多属于功率信号而非能量信号，FT不收敛，因此无法得到频谱分布信息。随机信号的某些统计特性具有平稳性，其均值和自相关函数具有平稳性。前人证明该确定的自相关函数存在傅氏变换。功率信号的功率谱描述了信号功率随频率的分布特点，维纳-辛钦定理指出，信号功率谱恰好是其自相关函数的傅里叶变换。谱估计就是对功率谱进行估计，它的基础是傅里叶变换。,信号,能量信号:,功率信号:,，P=0,，E=,2.谱估计概述功率谱（密度）函数,功率谱(PowerSpectralDensity,PSD)：,功率谱密度函数描述的是随机信号的能量随着频率的分布情况。,用随机过程的有限时间傅里叶变换来定义谱密度(快速傅里叶变换（FFT）估计谱密度的依据)用相关函数的傅里叶变换来定义谱密度(平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减)用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度(维纳的广义谐和分析理论),功率谱的三种定义方式:,2.谱估计概述频谱和功率谱,研究功率谱的目的:FT不存在时可以代替FT研究信号的成分。频谱不存在的信号，功率谱可以存在；对于频谱存在的信号，功率谱也一定存在。2.获得有用的功率信息。单独研究某一频带的信号功率，可以在功率谱上计算面积得到。3.通过平均抑制弱噪声如果确定信号受弱噪声干扰，而仅对确定性周期成分感兴趣，可以通过多次平均方式求功率谱抑制噪声。,注意:1.功率谱的前两个定义都要求：样本无穷多，时间无限长。理论上讲FT是不存在的，但工程问题都是有限域问题，实际获得的样本有限，此时即使原信号为功率信号，截短之后其傅里叶变换是满足收敛的，可以用DFT(或FFT)计算，而且FFT意义清楚算法简练，适合解决工程问题。但严格来讲得到的频谱并不是原信号的频谱，只是对原信号的接近和近似。2.逐段幅值谱平均保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。,2.谱估计概述频谱和功率谱,频谱和功率谱的比较:1.从频谱成分角度，频谱适合对周期信号进行分析，功率谱适合对平稳随机信号进行分析。周期信号做FT分析时，其峰值指频率分量的幅值，与数据的长短或频率分辨率无关，幅值结果是稳定的。周期信号做PSD分析时，采用的频率分辨率不同，PSD峰值的大小也会不同，用不同的频率分辨率会得到不同的PSD结果。随机信号与之相反。2.二者的幅值虽然都能反映频域内不同成分的分布情况，但二者的物理意义不同。3.频谱分析得到的信息包括幅值和相位，功率谱只保留了频谱的幅度信息，没有相位信息。,2.谱估计概述功率谱估计的分类方法,（非参数化方法）,Outline,1.离散随机过程介绍2.谱估计概述3.非参数化谱估计介绍4.非参数化谱估计总结5.实例分析,3.非参数化谱估计介绍直接法（周期图法）,算法说明：,对样本序列做FFT,得到频谱；对该频谱求幅平方,再除以N,即得到“周期图”功率谱，以此作为对真谱的估计。,3.非参数化谱估计介绍直接法（周期图法）,估计的质量,功率谱多次平均后估计的结果表现为：曲线起伏减小，谱线的峰值相对清晰，谱线更接近真实谱线。,做随机信号的功率谱密度估计必须要做多次（10-100次）平均，才能有一定的精度。,影响因素1：平均次数,N=512点估计在1次、20次平均后得到的功率谱,3.非参数化谱估计介绍直接法（周期图法）,N=512、1024、4096点的估计,增加数据长度N可以提高谱的分辨率，但谱曲线的起伏增大。同时数据量也增大。,分辨率和方差（体现在曲线起伏上），是经典谱估计中的一对矛盾。,影响因素2：数据长度N,估计的质量,3.非参数化谱估计介绍直接法的改进,基于直接法的改进算法,1Bartlett法,将数据分成L段，每段数据长度为M，N=ML,每段单独求谱,多次平均谱,3.非参数化谱估计介绍直接法的改进,基于直接法的改进算法,1Bartlett法,结果分析：起伏程度降低（方差减小）分辨率降低（谱线的宽度加大）,实质：多次平均,3.非参数化谱估计介绍直接法的改进,基于直接法的改进算法,2Welch法,在Bartlett法的基础上发展而来，在对数据分段时允许数据重叠，截短的同时对数据加窗。,加窗的作用：如对每段数据进行加窗处理，可以减弱Gibbs效应，降低频谱泄漏，使谱图曲线变得更加平滑。但是有些窗函数的主瓣宽度比矩形窗宽，将会导致计算时的带宽增加，导致分辨率降低。,3.非参数化谱估计介绍直接法的改进,基于直接法的改进算法,2Welch法,结果分析：加窗后曲线变平滑，但谱线宽度加大（分辨率降低）；随着重叠点数增加，起伏程度较Bartlett法降低（方差减小）缺点是计算量较大。,间接法的理论基础是：维纳-辛钦定理：设x(n)为零均值平稳随机信号，其自协方差序列（此时等于自相关序列）rxx(m)绝对可加，即|rxx(m)|，则x(n)的功率谱密度函数Pxx(w)等于rxx(m)的离散时间傅里叶变换。,3.非参数化谱估计介绍间接法,算法说明：,先求样本的自相关函数,再对自相关函数做快速傅里叶变换（FFT）得到功率谱,这种方法的具体实现方法是由Blackman和Tukey给出的，因此也称BlackmanTukey方法。,3.非参数化谱估计介绍间接法,估计的质量,影响因子：延迟窗函数长度选择,样本长度是N，得到自相关函数的长度是2N-1，代表卷积延时的点数，对自相关函数做FFT时截短所加的窗(-M,M)也叫延迟窗.,产生的问题：M=N-1和MN-1时做FFT的结果不一样。,0mN-1,3.非参数化谱估计介绍间接法,估计的质量,影响因子：延迟窗函数长度选择,1.当M=N-1时,（间接法）,对x(n)补N个0做2N点FFT,（直接法）,IFFT,M=N-1时，直接法和间接法估计的结果是一样的。且都是渐进无偏的。,3.非参数化谱估计介绍间接法,估计的质量,影响因子：延迟窗函数长度选择,2.当MN-1时,相当于对自自相关函数加窗，得到的功率谱是功率谱和窗函数频谱的卷积：,V(w)的主瓣变宽，旁瓣能量减小，曲线变得更加平滑，方差优于不加延迟窗时，但频率分辨率降低。,方差的减小是以牺牲分辨率为代价的，若满足分辨率要求则减小方差是有意义的。,3.非参数化谱估计介绍Nuttall方法,三种改进方法算法的比较,1.与Bartlett方法相同，先对样本不交叠分段，得到平均后的功率谱PPER(w)；2.由PPER(w)做IFFT得到平均功率谱的自相关函数r(m)；3.按间接法的方法，对r(m)加截短的延迟窗，再做FFT，得到平均和平滑之后的功率谱。,Outline,1.离散随机过程介绍2.谱估计概述3.非参数化谱估计介绍4.非参数化谱估计总结5.实例分析,4.非参数化谱估计总结,1.物理概念明确，有限长数据可用FFT快速计算，是大众化的谱估计方法；2.对直接法，分辨率受到数据长度N的限制；对间接法，分辨率受到延迟窗宽度M限制；3.分辨率和方差是相互矛盾的，增加数据长度时谱曲线反而起伏加剧；4.改进的方向：多次平均、加窗函数平滑；改进减小了方差，但是牺牲了分辨率。5.窗函数的作用：减小频谱泄漏，减轻Gibbs效应，使曲线更加平滑，但是有些窗函数会影响频谱分辨率。,非参数化谱估计是一种低分辨率的谱估计方法。,Outline,1.离散随机过程介绍2.谱估计概述3.非参数化谱估计介绍4.非参数化谱估计总结5.实例分析,4.实例分析,实例一：随机信号1信号样本为采样频率5120Hz，样本长度