第九章多元函数微分法及其应用电子教案第八节

一、多元函数的极值,二、最值及其应用,三、条件极值,一、多元函数极值,1.二元函数极值的定义,定义设z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)为D的内,点.,若存在P0的某个邻域U(P0)D，使得对于该邻域,内异于P0的任何点(x,y)，都有,f(x,y)f(x0,y0)，,则称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)，,点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极小值点,极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的,点称为极值点,例如，函数z=x2+4y2在点(0,0)处取得极小值；,函数,在点(0,0)处取得极大值；,函数z=xy在点(0,0)处不取得极值.,要注意，函数的极值是一个局部概念，极值也可能,不唯一,例如，函数,的图形如下，,可以看出该函数有2个极小值，2个极大值.,函数,的图形如下，,该函数有无穷多个极小值和极大值.,可以看出,函数,的图形如下，,小值大于极大值.,可以看出该函数的极,2.二元函数极值存在的条件,定理1(必要条件),函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存,在偏导数,且在该点取得极值,则有,使两个偏导数都为0的点称为函数的驻点.,都是极值点.,明，可微函数的极值一定在驻点处取得，,例如，z=xy在驻点(0,0)处不取极值.,定理1说,但驻点不一定,时,具有极值,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令,则1)当,A0时取极小值；,2)当,3)当,证明见第九节.,时,没有极值；,时,不能确定,需另行讨论.,且,若函数z=f(x,y)在点(x0,y0),定理2(充分条件),只举例说明当ACB2=0的情形.,考察函数,和,容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点(0,0),处都满足ACB2=0.,但f(x,y)在(0,0)处有极小值，,而g(x,y)在(0,0)处却没有极值.,3.求二元函数极值的步骤,设二元函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数，则求,极值的步骤如下：,Step1求驻点解方程组,求出所有驻点；,Step2求二阶偏导数；,Step3判别对每个驻点，定出ACB2符号，判定,f(x0,y0)是不是极值，是极大值还是极小值,例1求函数,的极值.,例2求函数,的极值,例3求由方程x2+y2z2=1所确定的隐函数z=f(x,y),的极值,例4求函数,的极值.,二、多元函数的最值及其应用,1.最值的求法,我们知道，在有界闭区域上连续的函数一定取得最,小值和最大值，,那么如何求其最值呢？,其方法与一元,求最值相类似，,具体步骤如下：,Step1求函数f(x,y)在开区域内可能的极值点(驻,点和使一阶偏导数不存在的点)；,Step2求函数f(x,y)在边界曲线上的极值点；,Step3比较函数f(x,y)在这些点处的函数值，最小,的即为最小值，最大的即为最大值,例5求函数,在区域D：0x2,0y2上的最值.,2.最值的应用,对于实际应用问题，若能确定该问题一定有最优解，,而且目标函数在自变量的实际控制范围内有唯一极值点,则该极值点就是问题的最值点，,不需比较和判断,例6某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,例7有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成,一个断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面面,积最大.,三、条件极值,极值问题,无条件极值：对自变量只有范围限制,条件极值：对自变量有范围限制外，还有,其他限制条件,例如，例6、例7,例如，例5中求函数在边界曲,线上的极值是条件极值,条件极值的求解方法,方法1转化为无条件极值,条件极值中的其他限制,条件一般为方程，从中解出一个变量，代入目标函数,中，即可变成无条件极值,这种方法的难点在于，很多,时候我们不能从约束方程中解出一个变量,方法2拉格朗日乘数法,在介绍拉格朗日乘数法之前，我们先来讨论条件极,值的几何意义.,求目标函数z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0下的,条件极值.,因为z=f(x,y)的几何意义为空间曲面，,(x,y)=0,的几何意义为母线平行于z轴的柱面，,所以该条件极值,的几何意义为求空间曲线,的最高点或最低,点.,从而引出拉格朗日乘数法.,例如，求z=f(x,y)=x2+y2在约束条件xy=1下的,条件极值的几何意义如图所示：,图中的空间曲线为旋转抛物面,与双曲柱面的交线.,从图中可,以看出，交线有两支，均有最,低点，但没有最高点.,又因为曲面z=f(x,y)=x2+y2,的等高线为一组同心圆，,所以问题又可变成求曲面的一,条与双曲线相切的等高线.,切点即为极值点.,f(x,y)与(x,y)在切点处的梯度平行，即有,f(x,y)=x2+y2,(x,y)=xy-1,O,例如，求z=f(x,y)=xy在约束条件4x2+y2=4下,的条件极值的几何意义如图所示：,曲线有两个最高点和两个,个最低点.,x,x,y,y,z,z,O,从上图中也可以看出，,椭圆与两条等高线相切，故,既有极大值也有极小值.,在4个切点处也均有,x,y,O,拉格朗日乘数法,求目标函数z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0下的,设函数f(x,y)与(x,y)具有连续的偏导数，,条件极值的拉格朗日乘数法如下：,作拉,格朗日函数,L(x,y,)=f(x,y)+(x,y)，,如果x=x0,y=y0是方程组,的解，,那么点(x0,y0)就是该条件极值可能的极值点.,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,件的情形.,例8求f