理论力学精品课程第七章点的运动学

第7章点的运动学,描述点运动的变矢量法,描述点运动的直角坐标法,描述点运动的弧坐标法,结论与讨论,运动方程变矢量法中，运动方程用点在任意瞬时t的位置矢量r(t)表示。,r=r(t),7-1矢量法,1.运动方程,r(t)简称为位矢。,2.速度,t瞬时:矢径r(t),t+t瞬时:矢径r(t+t)或r(t)+r(t),速度描述点在t瞬时运动快慢和运动方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢量的模。,3.加速度,t瞬时:速度v(t),t+t瞬时:速度v(t+t)或v(t)+v(t),7-2直角坐标法,1.运动方程,不受约束的点在空间有3个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定：,x=f1(t),y=f2(t),z=f3(t),2.速度,将矢径表示成:,(Oxyz)为定参考系:,3.加速度,1、建立固定参考系Oxy；,2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；,3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。,P点的运动方程：,P点的轨迹方程,P点的速度：,P点的加速度：,解：建立图示直角坐标系,运动方程:,速度:,例题2,速度:,加速度:,7-3自然法,弧坐标要素与运动方程,如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。,弧坐标具有以下要素：,1、有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；,2、有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；,3、有相应的坐标系(自然轴系)。,s=f(t),s-,s+,自然轴系,自然轴系PTNB,P空间曲线上的动点；,T过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；,N密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；,B过动点P垂直于切线和主法线的直线，其正向由BTN确定。,自然轴系的基矢量,跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。,自然轴系的特点,b=n,其中:,所以,的方向与P点的切线方向一致,而,速度,点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。,根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式,加速度,?,当0时，和以及同处于P点的密切面内，这时，的极限方向垂直于，亦即n方向。,加速度表示为自然轴系投影形式,弧坐标中的加速度表示,加速度表示为自然轴系投影形式,切向加速度,法向加速度,几点讨论,解：建立图示弧坐标,加速度:,速度:,运动方程:,(2)建立图示直角坐标系,运动方程:,速度:,加速度:,解：由已知的运动方程可知,例题4,解：由例2的计算结果得:,描述点运动的三种方法比较,变矢量法结果简明，具有概括性，且与坐标选择无关。对于实际问题需将变矢量及其导数表示成标量及其导数的形式。,直角坐标法实际问题中，一种广泛应用的方法。,弧坐标法应用于运动轨迹已知的情形，其最大特点是将速度矢量大小的变化率和方向变化率区分开来，使得数学表达式的含义更加清晰。,结论与讨论,点的运动学应用的两类问题,第一类问题：,已知运动轨迹，确定速度与加速度；,给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。,第二类问题：,已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和运动轨迹第一类问题的反运算。,速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别,速度大小,速度方向,速度大小的变化率,速度方向的变化率,点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断点的运动性质：,(A)越跑越快；,(C)加速度越来越大；,(D)加速度越来越小。,(B)越跑越慢；,运