概率论与数理统计(理工类 第四版)第4章

第四章随机变量的数字特征,数学期望方差几种重要分布的数学期望与方差协方差和相关系数矩、协方差矩阵大数定律中心极限定理,定义4.1设X是离散型随机变量，其概率分布为XP(X=xi)=pii=1,2,n,如果级数,绝对收敛，,并称级数,的和为随机变量X的数学期望（均值）,则称X的数学期望存在，,记作E(X)，即,则称随机变量X的数学期望不存在。,注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数,绝对收敛。若级数,不绝对收敛，,4.1数学期望,例如，设离散型随机变量X的分布律为,则X的数学期望为,例4.2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,解X的分布律为,例4.3从一个装有m个白球和n个红球的袋中取球，直到取到白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望。,解设取出的红球数为X，则X的分布律为,k=0,1,2,其中,二项分布XB(n,p),分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n,例4.4设X取,(k=1,2,)对应的概率为,，证明E(X)不存在。,证明,且,但级数,发散,所以E(X)不存在，但级数,(交错级数满足Leibniz条件)(收敛),要注意数学期望存在的条件：“绝对收敛”。,定义4.2设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),二、连续型随机变量的数学期望,若积分,绝对收敛，则称X的数学期望存在，,且称积分,为随机变量X的数学期望，记为E(X),即,数学期望简称期望或均值。,例4.6设随机变量X服从,(-x0，必有,或,或等价于,切比雪夫不等式,给出了在随机变量X的分布未知时，对事件(|X-E(X)|)给出了一个上限估计，例如：当分别取时2，3，4时，有P(|X-E(X)|2)1/4P(|X-E(X)|3)1/9P(|X-E(X)|4)1/16,三、几个重要分布的数学期望和方差,01分布XB(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=qE(X)=1p+0(1-p)=p，E(X2)=12p+02(1-p)=pD(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=pq=p(1-p),二项分布XB(n,p)E(X)=npD(X)=npq,分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n,其中,随机变量函数的数学期望,在计算时，若将X表示成若干个相互独立的01分布变量之和，计算就极为简便。,在n重Bernoulli试验中，A发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。设,则A发生的次数,XB(n,p),Poisson分布,XP(),几何分布,均匀分布,XUa,b,正态分布,N(,2)中两个参数和2，分别是正态分布随机变量的数学期望和方差。,指数分布,指数分布,练习1、设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=(2X+3Y)(4Z-1)的数学期望,2、设随机变量X1,X2,Xn相互独立，且均服从N(,2)分布，求随机变量,的期望和方差,练习.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+Xn，求E（Y2）。解：,HomeworkPage104,5;7;9;,4.3协方差与相关系数,定义设(X,Y)是二维随机变量，如果EXE(X)YE(Y)存在,则称它是X与Y的协方差，记为Cov(X,Y)即Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)。并称,一、概念,为X与Y的相关系数，或称X与Y的标准协方差。XY是一个无量纲的量。,当X与Y是离散型随机变量时，联合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij,当X与Y是连续型随机变量时，联合密度函数f(x,y),由协方差定义可得，对任意的随机变量X、Y，有Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)=E(XY)E(X)E(Y)协方差的一个计算公式。又有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y),例4.16设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为,其中p+q=1，求相关系数XY。,解由题意可得X,Y的边缘分布律为,均为0-1分布，E(X)=p，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00q+010+100+11ppp=pp2=pq因此,例4.17设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,求Cov(X,Y)解,同理,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0,二、协方差的性质,(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X)，Cov(X,C)=0；(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，其中a,b为常数；(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)；(5),称,为X的标准化变量，即“随机变量与期望之差除以均方差”,若记,则E(X*)=0，D(X*)=1,三、相关系数的性质,1、|XY|1，即“相关系数的绝对值小于等于1”。证明,方差的非负性,|XY|1,2、|XY|=1的充分必要条件是X与Y以概率1存在线性关系，即P(Y=aX+b)=1，a0，a,b为常数。,证明（充分性）设Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)=EXE(X)aX+baE(X)b=aEXE(X)2=aD(X),即|XY|=1,（必要性）设XY=1，则,方差性质,其中,即X与Y以概率1存在线性关系，此时称X，Y正相关。,当XY=-1时,其中,即X与Y以概率1存在线性关系，此时称X，Y负相关。,定义若XY=0，则称X与Y不相关。3、若X与Y相互独立，则必有X与Y不相关。证明X与Y相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0所以XY=0即X与Y不相关。注意：X与Y不相关，X与Y未必相互独立。所谓不相关只是就线性关系而言，而相互独立是就一般关系而言的。,例4.18设(X,Y)在D=(x,y)|x2+y2r2上服从均匀分布，(1)求XY(2)讨论X与Y的独立性。解(1),Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0，,所以XY=0，X与Y不相关。,(2),显然,X与Y不独立。,二维正态随机变量(X,Y)：X与Y独立,例4.19设二维随机变量,则协方差Cov(X,Y)=12相关系数XY=二维正态变量(X,Y)，X与Y相互独立的充分必要条件是=0；而XY=0表示X与Y不相关，可见，X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,X与Y不相关,等价于,练习1、设随机变量XB(12,0.5)，YN(0,1)，Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差。2、设(X,Y)服从区域D:00)，则UV=XY,1.设随机变量XB(12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差。解：XB(12,0.5),YN(0,1)E(X)=12*0.5=6,D(X)=12*0.5*0.5=3E(Y)=0,D(Y)=1,D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y)=D(4X)+D(3Y)+2COV(4X,3Y)=16D(X)+9D(Y)+24COV(X,Y)=16*3+9*1-24=33,D(W)=D(-2X+4Y)=D(-2X)+D(4Y)+2COV(-2X,4Y)=4D(X)+16D(Y)-16COV(X,Y)=4*3+16*1+16=44,COV(V,W)=COV(4X+3Y+1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X+4Y)+COV(3Y,-2X+4Y)+COV(1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X)+COV(4X,4Y)+COV(3Y,-2X)+COV(3Y,4Y)=-8D(X)+16COV(X,Y)-6COV(Y,X)+12D(Y)=-8*3+10*(-1)+12=-22,2,解,四、矩的概念,1、若E(Xk)存在，则称Ak=E(Xk)为随机变量X的k阶原点矩，简称k阶矩(k=1,2,)，而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2、若EX-E(X)k存在，则称Bk=EX-E(X)k为随机变量X的k阶中心矩(k=1,2,)，而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；3、若E(XkYl)存在，则称E(XkYl)为随机变量X、Y的K+l阶混合原点矩(k,l=1,2,)；4、若EXE(X)kYE(Y)l存在，则称EXE(X)kYE(Y)l维随机变量的K+l阶混合中心矩(k,l=1,2,)。,由矩的概念数学期望E(X)即为X的一阶原点矩；方差D(X)即为X的二阶中心矩。,设X1,X2,Xn为n个随机变量，记cij=Cov(Xi,Xj)，i,j=1,2,n。则称由cij组成的矩阵为随机变量X1,X2,Xn的协方差矩阵C。即,五、协方差矩阵,Homework,2，3，7，8,4.4大数定律与中心极限定理,设随机变量序列X1,X2,Xn，若存在随机变量Y，使得对于任意正数，均有,则称随机变量序列Xn依概率收敛于随机变量Y，并记为,一、依概率收敛,若存在常数a，任意的正数，使得,则称随机变量序列Xn依概率收敛于常数a，并记为,意思是：当,a,而,意思是：,时，Xn落在,内的概率越来越大。,当,与,的区别,二、几个常用的大数定律,1、切比雪夫大数定律设随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立，每一个随机变量都有数学期望E(X1),E(X2),E(Xn),和有限的方差D(X1),D(X2),D(Xn),，并且D(Xn)C(i=1,2,)，则任意正数，,即,证明因为X1,X2,Xn,相互独立，,由切比雪夫不等式可得,该定理表明：相互独立的随机变量的算数平均值,与数学期望的算数平均值的差在n充分大时是一个无穷小量，这也意味着在n充分大时，经算术平均后得到的随机变量的值将比较紧密地聚集在它的数学期望的附近。,2、切比雪夫大数定律的特殊情况设随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立，且具有相同的数学期望和相同的方差2，记前n个随机变量的算术平均为Yn，,则随机变量序列Y1,Y2,Yn,依概率收敛于即,证明,切比雪夫大数定律,3、贝努里大数定律设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记nA为n次试验中事件A发生的次数，则,证明（由切比雪夫不等式可直接证明）,即,4、辛钦大数定律若Xk，k=1,2,.为独立同分布随机变量序列,EXk=0)(i=1,2,)，记前n个变量的和的标准化变量为,（一）独立同分布的中心极限定理(Lindeberg-Levy林德贝格-列维),则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x(-,+)都有,该定理说明，当n充分大时，Yn近似地服从标准正态分布，即,随机变量,近似地服从于正态分布,中心极限定理可以解释如下：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每个随机变量对于总和的作用都很微小，则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的。在实际工作中，只要n足够大，便可把独立同分布的随机变量之和当作正态变量。,例4.20.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？,解:设Xi为第i次掷出的点数,i=1,2,100,则X1,X100独立同分布,P(Xi=k)=1/6,k=16。,由中心极限定理,（二）德莫佛-拉普拉斯定理(DeMoivre-Laplace),在n重贝努里试验中，每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，记Yn为n次试验中事件A发生的次数，则对任意实数x，有,其中q=1-p,此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布。当n充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算。注:相互独立的两点分布的和为二项分布。,设XB(n,p),当n非常大时,例4.21某车间有200台机床，它们独立地工作着，设每台机器开工率为0.6，开工时耗电1千瓦，问供电所至少要供多少电才能以不小于99.9%的概率保证车间不会因供电不足而影响生产。解设X为200台机器中工作着的机器台数，则XB(200,0.6)，n=200，p=0.6，np=120，npq=48，近似地有XN(np,npq)，即XN(120,48)设r是供电所供给电力的最小数(千瓦)，,由题意,查表得,r=142,标准正态分布表,例4.22在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为