《数据包络分析》PPT课件

数据包络分析,DataEnvelopmentAnalysis,DEA,什么是数据包络分析,数据包络分析是著名运筹学家A.Charnes和W.W.Cooper于1978年在“相对效率评价”概念基础上发展起来的一种新的统计分析方法。已经成为管理科学领域一种重要而有效的分析工具。,数据包络分析有什么用处,可以对企事业单位作出各种有效性评价。特点是评价的相对性，所得结论是与其他同类型的被评对象相比较而言的。主要的技术工具是线性规划模型。,7.1概念：决策单元,决策单元(DecisionMakingUnits,DMU)：一个有投入有产出的生产或经济组织。注1：DMU的概念是很宽泛的。厂商、城市或地区、行业、部门、学校、医院，甚至某个产品（在评价产品质量时）都是。注2：不同的研究，投入和产出会不同。,概念：决策单元,注3：在评价时，把同类型的DMU放在一起。所谓同类型的DMU，是指3个相同：1目标和任务；2外部环境；3投入产出指标。注4：可以把一个企业一年四季度或者不同的年份看作是不同类型的DMU。投入=输入；产出=输出。,概念：生产活动,生产活动：DMU的输入输出指标组成的向量。输入指标：输出指标：生产活动：,多个DMU的输入输出指标,概念：生产可能集,一些生产活动之集合（在一定的技术条件下，理论上存在的反映生产过程中投入和产出关系的可能性的集合）称为生产可能集，表示为：注1：生产可能集的具体形式是由公理体系确定的，不同的公理体系确定的生产可能集不相同。注2：生产可能集是研究问题的一个平台。,概念：公理体系,1平凡公理：设已有个生产活动则平凡公理是说，已知的生产活动理所当然属于生产可能集。,概念：公理体系,2凸性公理。如果和是生产可能集中的生产活动，则也是生产可能集中的生产活动。这里是任意一个实数。凸性公理是说，原投入的凸组合作为新的投入，则原产出的相同凸组合作为新的产出是可能的。,概念：公理体系,3无效性公理。设是生产可能集中生产活动，若若无效性公理是说，以较少的产出和较多的投入是可能的。,概念：公理体系,4.1锥性公理。如果是生产可能集中的生产活动，则也是。这里。锥性公理是说，若以原投入的倍进行投入，则可以生产原产出的倍。,概念：公理体系,4.2收缩性公理。如果是生产可能集中的生产活动，则也是。这里。收缩性公理是说，生产活动是可以缩小规模的。,概念：公理体系,4.3扩张性公理。如果是生产可能集中的生产活动，则也是。这里。扩张性公理是说，生产活动是可以扩大规模的。,概念：公理体系,5最小性。生产可能集是满足上述公理1-3和4.1，4.2，4.3三个公理之一的所有集合的交集。,经验生产可能集,当个DMU已知时，利用观测值可构造经验生产可能集。当满足公理1,2,3,4.1和5时，有当满足公理1,2,3,和5时,有当满足公理1,2,3,4.2和5时,有当满足公理1,2,3,4.3和5时,有,生产可能集的例子例7.1,有3个DMU的输入输出情况如下：DMU123输入134输出231,有效生产活动与生产函数,有效生产活动：投入与所应达到的最大产出组成的生产活动叫有效生产活动。生产函数：所有有效生产活动中，X与Y的函数关系叫生产函数。,7.2数据包络分析的基本模型CCR模型,这是由Charnes,Cooper,和Rhodes给出的。思路：考虑个同类型的DMU，其生产活动已知，且,CCR模型,将这个DMU看成一个大系统，任取其中一个，作为评价对象。例如，取第个，记为DMUj0。构造一个新的DMU，它的输入输出是这个DMU的非负线性组合，于是，它的生产活动为：,CCR模型,上式中的系数待定。对于评价对象DMUj0来说，让新DMU的投入(与DMUj0投入相比)不增加，看其（新DMU）产出是否能增加，于是有下述基于输出的模型：,基于输出的CCR模型,基于输入的CCR模型,让新DMU产出不减少，看投入能否减少，得到基于输入的模型：,评价结论,按照基于输入的CCR模型：对于评价对象DMUj0来说，如果新DMU的产出不减少，其投入能够减少，则DMUj0不是有效的，反之，若新DMU的投入不能减少，则DMUj0是有效的。按照基于输出的CCR模型也有类似结论。,模型的最优值和最优解,基于输入和基于输出的评价结论相同。最优值最优值之间的关系：最优解记为,（弱）有效的定义,以基于输入的模型为例。DMUj0为弱DEA有效(CCR)的充要条件是：DMUj0为DEA有效(CCR)的充要条件是：并且每组最优解中松弛变量和剩余变量的值都为0.,基于输入和输出的最优解的关系,设是基于输入的最优解和最优值，则是基于输出的最优值；是基于输出的最优解。,例7.2,有4个DMU的输入输出情况如下:DMU1234输入12112.4输入21242.4输出1111,例7.2:建立基于输入的模型并且评价DMU1,评价DMU1:解得:，所有松弛和剩余变量都为0,故DMU1有效.,例7.2:建立评价DMU2的模型,例7.2:建立评价DMU3的模型,例7.2:建立评价DMU4的模型,DMU1-4的结果,DMU1和DMU2为DEA有效（当然也弱有效）.对于DMU3,有第2个松弛变量最优值为2,故DMU3为弱DEA有效且非DEA有效.DMU4的最优解为:故DMU4为非弱DEA有效.,弱有效与有效的区别,DEA有效:若新DMU要保持DMUj0的产出水平,则它的各项投入均不能减少,说明DMUj0是DEA有效的.弱DEA有效:若新DMU要保持DMUj0的产出水平,则它的部分(不是全部)投入可以减少,说明DMUj0是弱DEA有效.,非弱DEA有效的含义,因为，说明各项投入都可以减少，同时产出保持不减少。例7.2中的DMU4，因为各项投入都可以减少为DMU4的投入的5/8，而产出保持不变。注：可按照的值对非弱DEA有效的DMU排序。,具有非阿基米德无穷小的CCR模型,退化情形下，判断是否有效在技术上有难度。于是引入下述模型（基于输入）,具有非阿基米德无穷小的CCR模型,其中为非阿基米德无穷小量。,具有非阿基米德无穷小的CCR模型：例7.2DMU3,具有非阿基米德无穷小的CCR模型是否有效的结论,设为非阿基米德无穷小，为最优解，则有(1)若则DMUj0不为弱DEA有效;(2)若则DMUj0仅为弱DEA有效;(3)若则DMUj0为DEA有效;,例7.2的DMU3的最优解,CCR模型对应的生产可能集,满足平凡公理1，凸性公理2，无效性公理3，锥性公理4.1和最小性公理5的生产可能集由下式唯一确定：,生产可能集的例子：例7.1,有3个DMU的输入输出情况如下:DMU123输入134输出231生产可能集如下：,生产可能集的例子：例7.1,x,y,(3,3),(1,2),(4,1),有效生产活动构成的“平面”称为有效生产前沿面，也叫相对有效（前沿）面。引入的对偶模型：,利用对偶模型判断有效性,1若对偶模型最优解存在，且则DMUj0为弱DEA有效。2若对偶模型最优解存在并且则DMUj0为DEA有效。,对偶模型的解释,一般地，记为DMUj的效率评价指数。当然为DMUj0的效率评价指数。实际上是投入产出效率：每单位投入的产出数。,有效生产前沿面（基于CCR）,设DMUj0为DEA有效（CCR），则称超平面为的有效生产前沿面，其中,有效生产前言面的简单例子：例7.1,有效生产前沿面的例子：例7.3,有4个DMU的输入输出情况如下:DMU1234输入11334输入23132输出1121,有效生产前沿面的例子：例7.3,考虑DMU1，模型为：,例7.3的有效生产前沿面,最优解为：故DMU1为DEA有效，一个有效生产前沿面为L1:因为DMU2也有效，经计算可有另一个有效生产前沿面L2:注：DMU1,3在L1上，DMU2,3在L2上。,例7.3的有效生产前沿面,DMU3也有效，故还有有效生产前沿面：L3(与L1相同):DMU4非弱有效，解相应的得：有效生产前沿面是经济学中生产函数向多产出情况的推广。判断一个DMU是否有效，本质上是判断该DMU是否位于生产可能集的有效生产前沿面上。,DMU在有效生产前沿面的“投影”,考虑模型，设其最优解为：令DMUj0在生产可能集的有效生产前沿面的“投影”。,“投影”的意义,1实际上2“投影”在有效生产前沿面上，因而是有效的。3若DMUj0本身是有效的，则4若DMUj0是弱有效的，则,“投影”的例子,例7.3DMU4的“投影”在L2上。对DMU4解得：故于是在L2上。,作业1,作业1：DMU1234x46105y4684求DMU3,4的“投影”。,作业2,作业2：DMU1234x1135y2144求DMU2的“投影”。,其他DEA模型：BCC模型,以上的有效性概念是基于CCR模型的。类似地，可由BCC模型建立有效性概念。BCC模型是由Banker,Charnes和Cooper于1984年创立的。与CCR模型相比，多了一个约束条件。,基于输出的BCC模型,记为：,基于输入的BCC模型,记为：,BCC模型对应的生产可能集,记为：这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理和最小性公理而唯一确定的。注：这里缺少了锥性公理。生产可能集中多了参数之和为1的条件。,其他DEA模型：FG模型,FG模型是由Fare和Grosskopf于1985年创立的。基于输入的模型记为：,FG模型对应的生产可能集,记为这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理、压缩性公理和最小性公理而唯一确定的。,其他DEA模型：ST模型,ST模型是由Seiford和Thrall于1990年创立的。基于输入的模型记为：,ST模型对应的生产可能集,记为：这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理、扩张性公理和最小性公理而唯一确定的。,基于BCC,FG,ST模型的有效性,基于这三个模型（弱）有效性概念与基于CCR的（弱）有效性概念类似。4个模型的基础-生产可能集不同。一个DMU，在不同的模型之下，（弱）有效性可能不同。,四个模型的生产可能集的比较,例7.43个DMU的输入输出指标如下：DMU123x134y231,四个模型的(弱)有效性的关系,结论1：(弱)DEA有效性（CCR）(弱)DEA有效性（FG）和(弱)DEA有效性（ST）结论2：(弱)DEA有效性（FG）或者(弱)DEA有效性（ST）(弱)DEA有效性（BCC）,四个模型的(弱)有效性的例子,例7.54个DMU的相关数据如下：DMU1234x1135y2144,四个模型的(弱)有效性的例子,弱DEA有效(CCR)：DMU1Input-弱DEA有效(BCC)：DMU1,2,3Output-弱DEA有效(BCC)：DMU1,3,4Input-弱DEA有效(FG)：DMU1,3Output-弱DEA有效(FG)：DMU1,3,4Input-弱DEA有效(ST)：DMU1,2Output-弱DEA有效(ST)：DMU1,评价医院绩效,4个DMU：分别为普通医院、大学医院、乡村医院和州立医院。3个投入指标：x1专职医护人员的数量；x2物资投入量；x3可利用床位天数。4个产出指标：y1病人接受医疗服务的天数；y2病人接受非医疗服务的天数；y3护士培训天数；y4实习医师培训天数。,输入数据,DMU输入项1234x1285.2162.3275.7210.4x2123.8128.7348.5154.1x3106.7264.21104.1104.04,输出数据,DMU输出项1234y148.1434.6236.7233.16y243.1027.1145.9856.46y3253148175160y441272384,利用基于输入的BCC模型评价乡村医院DMU3,输入约束,输出约束,再加上约束：,计算结果,10.212320.26043040.527350.9052,剩余变量和松弛变量的值,1C135.55252C2174.26433C304C405C506C61.61547C737.02718C80,计算CCR模型的结果,1020.62803040.512850.8999,两个结论,1对于CCR模型来说，一个决策单元是否有效，按基于输入和基于输出得到的结论相同。2对于BCC模型来说，一个决策单元是否(弱)有效，按基于输入和基于输出得到的结论不一定相同。FG，ST模型情况与BCC模型类似。,规模收益分析,回顾西方经济学：规模经济,西方经济学的生产理论研究的是生产者的行为，其中一个重要的规律就是规模经济。规模：指的是要素投入的数量的大小。规模经济：在技术水平不变的情况下，要素投入扩大对产量的影响：规模收益递增、不变和递减，甚至产量绝对减少“拥挤”现象。,回顾西方经济学：生产函数,西方经济学中，要素的投入数量是生产函数中的自变量，而所能达到的最大产量是其因变量：一般地，可假设有m种投入，则生产函数记为：或者记为：,利用生产函数分析规模收益,以原投入的倍进行投入：产出为：产出是否同倍数增长呢？要比较结论：,规模收益的结论,规模收益的例子,例7.6三个决策单元，根据定义研究规模收益。DMU123x13y24,多产出时的规模收益分析,由单产出向多产出过渡需要做许多工作，是一个复杂的过程。生产函数有效生产前沿面拓展规模收益递增、递减或不变的概念给出明确的判别条件与生产函数的表述相似，我们这部分的研究全部用基于输出的模型。,关于规模收益的结论1,设DMUj0为弱DEA有效(BCC)，则（1）DMUj0为规模收益递增的充要条件是：DMUj0为弱DEA有效(ST)，但不为弱DEA有效(FG)；（2）DMUj0为规模收益递减的充要条件是：DMUj0不为弱DEA有效(ST)，但为弱DEA有效(FG)；（3）DMUj0为规模收益不变的充要条件是：DMUj0既为弱DEA有效(ST)，又为弱DEA有效(FG)，即为弱DEA有效(CCR)。,关于规模收益的结论2,设DMUj0为弱DEA有效(BCC)，且为的最优解，则（1）DMUj0为规模收益递增的充要条件是（2）DMUj0为规模收益递减的充要条件是,关于规模收益的结论2,（3）DMUj0为规模收益不变的充要条件是：即DMUJ0为弱DEA有效（CCR）,关于规模收益的结论3,如果只用BCC模型判定，需要引入：,关于规模收益的结论3,设DMUj0为弱DEA有效(BCC)，则（1）DMUj0为规模收益递增的充要条件是的所有最优解中都有；（2）DMUj0为规模收益递减的充要条件是的所有最优解中都有；（3）DMUj0为规模收益不变的充要条件是存在一组最优解有；,关于规模收益的总结,从基于输出的模型来看，（弱）DEA有效（BCC）意味着输出相对输入而言已达“最大”，这与生产函数的意义相同，这当然是在一定的技术水平（生产要素的配合比例）下实现的，故称其为“技术有效”。从前述几个结论