随机过程习题

习题一1某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为09及05，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大2设随机变量X的概率密度为F（X）0012XA求（1）常数A2分布函数F（X）；（3）随机变量YLNX的分布函数及概率分布。3设随机变量（X,Y）的概率密度为FX,YASINXY,0X,Y2求1常数A；（2）数学期望EX，EY；（3）方差DX，DY；4协方差及相关系数。4设随机变量服从指数分布X0XKEXF0K求特征函数,并求数学期望和方差。5设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和2的泊松分布，试用特征函数求ZXY随机变量的概率分布。6一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。7设（X，Y）的分布密度为（1）其他，,010,XY4,Y（2）其他，,8,问X，Y是否相互独立8设（X，Y）的联合分布密度为XY12101391091问（1），取何值时X，Y不相关；（2），取何值时相互独立。习题二设有两个随机变量X、相互独立，它们的概率度分别为和，定义如下XFXYFY随机过程，YTTZR试求的均值函数和相关函数。TM,21T从T0开始每隔秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻T，规定随机变量21XT掷出反面当时刻掷出正面当时刻TT,COS试求（1）F（；），F（）（2）F（，1；，）。21X1；X2袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的T对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果（TETXT,3试求这个随机过程的一维分布函数族。设在时间区间内来到某商店的顾客数XT是参数的泊松过程。为第N个顾T,0Y客来到的时刻，求的分布函数。NY5设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为02，求2分钟内有多于一辆车通过的概率。6令表示时间内（单位分）顾客到达某商店的人数，设是泊松过程。根TNT,0TN据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于4分钟的概率。7一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔1秒以概率P向右移动一格（1单位长），或以概率Q1P向左移动一格，以X（N）表示质点在第N秒至N1秒之间的位置（坐标），则随机过程，210NX由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求X（N）的概率分布及增量X（T）X（T）的概率分布。8求随机过程的一维概率密度，其中为常数，。TXTSINX1,0N9设复随机过程Z（T），0，其中（1）是相互独立且NKA1ETIKTAKN服从N0，的随机变量，1是常数，试求复随机过程Z（T）的均值函数2KKN与自相关函数。10设为一个独立增量过程，且X（0）0，证明XT是个马氏过程。0T，X11设随机过程，其中，是相互独立的标准正态分布变量，VTXT0T0XV试证是一个正态过程。TX12设，其中S、V、A为相互独立的正态分布变量，试证2ATVSTX0是一个正态过程。习题三1一质点在区间0,4中的0,1,2,3,4上作随机游动,移动的规则是在0点以概率1向右移动一个单位,在1,2,3点上各以概率1/3向左,向右移动一个单位或留在原处,试求转移概率矩阵2一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是质点总是以概率P顺时针游动一格，以概率Q1P逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。3一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是以概率P从I移动到I1，以概率Q从I移到I1，以概率R停留在I，且RPQ1，试求转移概率矩阵。4波利亚（POLYA）罐子模型波利亚（POLYA）罐子模型可描述如下一个罐子装有R格红球，L个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进A个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设XN表示第N次试验结束时罐中实有红球的数目XNI，IR，I0，1，2，不论在时刻N时如何转移到I的，系统在时刻N1时，必转移到状态IA或I，因此，XN，N0是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。5设袋中有A个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的球。若在袋里有K个白球，则称系统处于状态K，试用马尔可夫链描述这个模型称为爱伦菲斯特模型，并求转移概率矩阵。6设水库的蓄水情况分为三个状态空库、半库、蓄满。并分别记为1，2，3。在不同季节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为2071435P初始分布行矩阵为，试求并指出经过两个季节水库蓄满80P的概率。7一个开关有两个状态开、关，分别记为1，2。设2N,1开关处于状态在时刻开关处于状态在时刻NX又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率都是1/2；而现在关着时，经过单位时间后，他仍然关着的概率是1/3，开着的概率为2/3。（1）试写出马氏链0,N的一步转移矩阵；（2）设开始时开关处于状态1，求经过二步转移开关仍处于状态1的概率。8设马氏链的状态空间为3,21I,其进一步转移矩阵为32101P试研究各状态间的关系。9设马氏链0,NX的状态空间2,10I,其一步转移矩阵为321041P试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。10设马氏链0,NX的状态空间3,210I,其一步转移矩阵为108421P试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。11设马氏链的状态空间,其一步转移矩阵为0,NX210I0211P试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。12天气预报问题若明天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。并设今日有雨、明日也有雨的概率为，今日无雨、明日也有雨的概率为。试求（1）一步转移矩阵；（2）今日有雨且第4日仍有雨的概率（设40,7。13考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字0和1，设在每一阶段被下一阶段接受的数字仍与者阶段相同的转移概率为075且记第N阶段接受的数NX，试求进入第1阶段的数字是0，而且第5阶段被接受到的也是0的概率。14设建筑物受到地震的损害程度为齐次马氏链，按损害的程度分为5种状态无损害称为状态1，轻微损害称为状态2，中等损害称为状态3，严重损害称为状态4，全部倒塌称为状态5。设一步转移概率为10082540081P又设初始分布为5,4,3,02,1000PPP试求接连发生二次地震时，该建筑物出现各种状态的概率是多少15设某河流每日的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马氏链1,NX，状态空间4,321I是按BOD浓度极低、低、中、高分别表示为1，2，3，4，其转移矩阵为（以天为单位）40201651P如果BOD浓度高，则称河流处于污染状态。（1）说明此马氏链为不可约非周期正常返链；（2）求此链的平稳分布；（3）求河流再次到达污染的平均时间。416设马氏链的状态空间4,321I，其一步转移矩阵为0121P试对其状态分类。17设马氏链的状态空间5,4321I，其一步转移矩阵为00168200P试研究各状态的类及周期性。18设马氏链的状态空间为3,21I，其一步转移矩阵为1051P试研究各状态的类，并讨论各状态的遍历性。19设马氏链的状态空间为4,321I，其一步转移矩阵为0260731P试对各状态进行分类。20设0,TX为一个时间连续的马氏链，其状态空间1,0I。假定TX在时间段T内改变一次状态（从一个值跳到另一个值）的概率为TO，未曾改变状态的概率为1TO，而在这段时间内改变多于一次的概率为。试求时间T时的转移概率TPIJ（I,J0，1）。习题四1已知随机过程XT的自相关函数为RX2EXP，试判断其连续性和可微性。2随机初相信号XTACOST，试中A和均为常数，已知MXT0,RXA2COST/2,TS。信号XT在时间T内的积分值为YTT0XTDT,试求YT的均值和方差。3讨论随机过程XTAT2BTC,其中A，B，C独立同分布且服从N0,2的均方连续性、均方可微性和均方可积性。并求XT,YTT10XSDS的均值函数和相关函数。4讨论随机过程XT，其中XT的均值为0，相关函数RS,T1/A2ST2的均方连续性、均方可微性和均方可积性。并求XT,YTT10XSDS的均值函数和相关函数。习题五1设ZTXSINTYCOST,其中X,Y是相互独立同分布的随机变量，其分布列为证明ZT是宽平稳过程。2设，其中是常数，,是相互独立，且都服从正态分布TBTATXSINCOAB的随机变量，试证明是平稳过程。,0NZ3设随机过程，其中是在上均匀分布的随机变量，试证TTXCOS2,01，是一个平稳序列。NN1,（2），不是一个平稳过程。T,XY12P2/31/34设随机过程其中是周期为的波形，在区间内为均匀分布的随TFXTFT机变量，证明是平稳过程。T5设随机过程由下列三个样本函数组成，且等概率发生，TX，1,ETETXSIN,2TEXCOS,3问（1）计算均值和自相关函数；TMX1RX（2）该随机过程是否平稳。6设随机过程XTASIN2T其中A为常数，1和2为相互独立的随机变量。112的概率密度为偶函数，2在内均匀分布。证明,（1）XT为平稳过程；（2）XT是均值遍历的习题六1设NY,210为独立随机序列，且,0NEY令NKYX1，则当时，NX关于NY是下鞅；当时，关于N是上鞅。2设NY,210为独立随机序列，且,0NEY令NYXKN1，则X关于是鞅。2设NY,210表示生灭过程各代的个体数，且10Y，任意一个个体生育后代的分布为均值，证明NNYX是一个关于N的鞅。4（公平博弈的问题）设,21X独立同分布，分布函数为1IIPX，于是，可以将IX看作一个投硬币的游戏的结果如果出现正面就赢1元，出现反面则输1元假设我们按以下的规则来赌博，每次投硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博即停，令NW表示第次赌博后所输（或赢）的总钱数，0W，则N是关于NX,21的鞅。5设TB是布朗运动，则（1）2是鞅；（2）对任何的实数U，2EXPTUB是鞅。习题七1通常假设股票价格服从马尔科夫过程，是什么含义2假设某股票的价格变化遵循维那过程，其初始价值为20元，估算的时间为一年。在一年结束时，若资产价值按正态分布，其期望值为10，标准差为1，那么在两年期结束时，资产价值的期望值和标准差是多少3假定有一支股票价格S遵循一般维那过程，即DS，在第一年中，2，DWT3，若股票价格的初始值为30，则在第二年末股票价格的分布概率为多少4考虑一种无红利支付的股票，假定价格S遵循过程TTS其中每年预期收益率为（以连续复利计），漂移率为，若初始值为S20元，1030试分别解释当时间间隔为一周、一月和一季度时，股票的价格变化规律习题八1求随机微分TBED2利用伊托公式证明TTSKDSBSDB03022,13设B（T）是标准布朗运动，证明2,1202KDSBKTETKK并求出的值。,644设BT是标准布朗运动，利用伊托公式证明下列随机过程是0,TUBIT关于的连续鞅。TI（1）；COS2TETXT（2）INBT习题九1若某种股票的初始价格为30美元，年预期收益为15，年波动性为25，问在六个月后，该股票价格的概率分布是什么并判断在置信度为95时股票价格的变化范围。2假设某种股票当前的价格为15元，每年的预期收益率为12，每年的波动率为20，则在一年后股票价格的均值和方差是多少3假设有一股票，其期望收益率为16，波动性为30，某天其股票价格为40元，计算如下问题（1）预期下一天的股票价格为多少（2）下一天该股票的标准差为多少（3）下一天该股票95的置信度区间为多少4股票A和股票B均符合几何布朗运动，在任何短时间内二者的变化是不想关的，问由一股股票A和一股股票B构成的证券组合的价值是否也遵循几何布朗运动请解释原因。5若某种股票价格S遵循几何布朗运动，其期望收益率为，波动率为，即DSSDTSDW则变量“S”也遵循几何布朗运动习题十1求无红利支付股票的欧式看涨期权的价格。其中股票的价格为52元，执行价格为50元，无风险利