状态空间表达式的解

控制系统状态空间表达式的解,第二章控制系统状态空间表达式的解-,控制系统状态空间表达式的解,(见第三章和第四章),控制系统状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-1线性定常齐次状态方程的解-自由解,所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：,其唯一确定的解为:,若t0=0,则有,eAt为一矩阵指数函数，它是一个nn的方阵,控制系统状态空间表达式的解,矩阵指数函数:,2-2矩阵指数函数-状态转移矩阵,从,可看出:,形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的nn矩阵。但本质上，它的作用是将,时刻的系统状态矢量,转移到t时刻的状态矢量,也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(TheStateTransitionMatrix)，并记：,由此若已知状态转移矩阵和初始状态,即可求的任意时刻的状态.,控制系统状态空间表达式的解,*状态转移矩阵的基本性质*,性质1：组合性质,性质2：,性质3：转移矩阵的逆意味着时间的逆转,控制系统状态空间表达式的解,性质4：,性质5：,对于n阶方阵A和B,当且仅当AB=BA:即A,B可交换时,有:,、,证明过程见现代2-P6,证明过程见现代2-P6,可用来从给定的,矩阵中求出系统矩阵A,控制系统状态空间表达式的解,*几个特殊的状态转移矩阵*,1.若A为对角阵,2.若A能够通过非奇异变换对角化,即:存在T使,则,则,证明过程见现代2P8,证明过程见现代2P9,控制系统状态空间表达式的解,3.若A为Jordan矩阵.即:,则,证明过程见现代2P9,控制系统状态空间表达式的解,*状态转移矩阵的计算*,1.根据定义直接计算:,2.利用拉普拉斯反变换,对,两边取拉氏变换，得：,拉氏反变换，得：,控制系统状态空间表达式的解,3.变换A为Jordan标准型,(1)A的特征根互异:存在非奇异变换阵T使A成为对角阵,控制系统状态空间表达式的解,(2)A的特征根有重根:存在非奇异变换阵T使A成为Jordan型,控制系统状态空间表达式的解,4.应用凯莱-哈密尔顿定理(CayleyHamilton)求eAT,考虑nXn维矩阵A及其特征方程:,凯莱-哈密尔顿定理指出:矩阵A满足其自身的特征方程,即:,由此可得:,其中i(t)可计算如下:,控制系统状态空间表达式的解,(1)A的特征值互异时:,控制系统状态空间表达式的解,(2)A的特征值为重根时:,控制系统状态空间表达式的解,Example:1.,Example:2.,控制系统状态空间表达式的解,2-3线性定常系统非齐次方程的解,线性定常非齐次状态方程为：,从物理意义上看，系统从,时刻的初始状态,开始，在外界控制,的作用下运动。要求系统在任意,采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，上式可写成：,时刻的状态,则必须求解上述微分方程。,控制系统状态空间表达式的解,两边同时左乘,，得：,根据矩阵微积分知识，上式进一步有：,两边同时在,区间积分，得：,两边同时左乘,并整理得：,即：,控制系统状态空间表达式的解,，,当初始时刻为t0=0时,初始状态x(t0)=x(0)时,其解为:,当初始时刻为t0时,初始状态x(t0)时,其解为:,第一部分是在初始状态,作用下的自由运动，,的作用下的强制运动。,第二部分为在系统输入,控制系统状态空间表达式的解,在特定控制作用下,如脉冲函数,阶跃函数和斜坡函数的激励下,系统的全响应解可以简化为一些公式:,1.脉冲函数,2.阶跃函数,3.斜坡函数,控制系统状态空间表达式的解,1脉冲信号输入，即：,时,即：,控制系统状态空间表达式的解,2阶跃信号输入，即,控制系统状态空间表达式的解,【例28】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：,解：根据上面的式子,其中,，K=1,控制系统状态空间表达式的解,在例26中已求的：,控制系统状态空间表达式的解,其状态轨迹图可以MABLAB方便地绘出，如图所示：%ExampleExample2-8grid;xlabel(时间轴);ylabel(x代表x1，-*代表x2);t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,x,t,x2,*)end,控制系统状态空间表达式的解,2-4线性时变系统状态方程的解,线性时变系统:,1.齐次方程的解:,2.状态转移矩阵的基本性质:,一般不可交换,控制系统状态空间表达式的解,3.线性时变系统非齐次方程的解,若,的A(t)和B(t)的各元素在时间区间内分段连续,则有:,4.状态转移矩阵的计算:,控制系统状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-5离散时间系统状态方程的解,离散时间状态方程求解一般有两种方法：递推法（迭代法）和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用，而后者只适用于定常系统。我们只介绍递推法。对于线性定常离散系统状态方程：,依次取,得：,控制系统状态空间表达式的解,当初始时刻为h时，同理可推出：,或:,离散系统的状态转移矩阵:,控制系统状态空间表达式的解,例2-11:离散系统的状态方程为:,我们可以在MATLAB中，直接通过递推法求出各,值,X=1;1;U=1;G=01;-0.16-1;H=1;1;fork=0:400X=G*X+H*Uplot(X(1),X(2),o);end,控制系统状态空间表达式的解,2-6连续时间系统状态空间表达式的离散化,数字计算机处理的是时间上离散的数字量，如果要采用数字计算机对连续时间系统进行控制，就必须将连续系统状态方程离散化。另外，在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离散化。,设连续系统动态方程为：,系统离散化的原则是：在每个采样时刻，其中T为采样周期）,系统离散化前后的,保持不变。,而采样的方法是在t=kT时刻对U(t)值采样得U(kT)，并通过零阶保持器，使,的值在,时间段保持不变。,控制系统状态空间表达式的解,根据上述离散化原则，我们有离散化后的动态方程为：,上述输出方程应该很容易理解，它表示kT时刻离散系统的输出Y(kT)和输入U(kT)及其系统状态量X(kT)的关系，它应该与离散化前的关系一样。下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方程，即求出,其中：,近似计算:T0.1时:G=TA+I;H=TB,控制系统状态空间表达式的解,【例213】试将下列状态方程离散化,解：,控制系统状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,在MATLAB中，语句C2D可直接求出连续系统的离散化方程。%Example3-8ContinuoustodiscretesystemA=01;0-2;B=0;1;T=0.01G,H=c2d(A,B,T)end运行结果为：,G=,H=,控制系统状态空间表达式的解,应掌握的内容：矩阵指数函数的定义状态转移矩阵的定义及性质状态转移矩阵的计算方法由定义计算