3.3.1两条直线的交点坐标

3.3,直线的交点坐标与距离公式,主要内容,3.3.2两点间的距离,3.3.3点到直线的距离,3.3.1两条直线的交点坐标,3.3.4两条平行直线间的距离,3.3.1,两条直线的交点坐标,思考？,一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？,几何概念与代数表示,A的坐标满足方程,A的坐标是方程组的解,结论：用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.,对于两条直线和,若方程组,有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？,两直线有一个交点，重合、平行,探究,据此，我们有,例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y2=0；l2：2x+y+2=0.,解：解方程组,l1与l2的交点是M（-2，2）,x,y,M,-2,2,0,l1,l2,例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x2y+2=0，l2：2xy2=0.,l1与l2的交点是（2，2）,设经过原点的直线方程为,y=kx,把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为,x-y=0,练习1：下列各对直线是否相交，如果相交，求出交点的坐标，否则试着说明两线的位置关系：（1）l1:x-y=0,l2:x+3y-10=0;（2）l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;（3）l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0;,当变化时，方程,表示什么图形？图形有何特点？,探究,探究:,=0时，方程为3x+4y-2=0,x,y,=1时，方程为5x+5y=0,l2,=-1时，方程为x+3y-4=0,0,l1,l3,上式可化为：(3+2)x+(4+)y+2-2=0,发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）,A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。,3.共点直线系方程：,回顾例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x2y+2=0，l2：2xy2=0.,解：设直线方程为x-2y+2+(2x-y-2)=0,因为直线过原点(0，0)，将其代入上式可得：,=1,将=1代入x-2y+2+(2x-y-2)=0得：,3x-3y=0即x-y=0为所求直线方程。,例3：求经过两条直线x+2y1=0和2xy7=0的交点，且垂直于直线x+3y5=0的直线方程。,解法一：解方程组,这两条直线的交点坐标为（3，-1）,又直线x+3y5=0的斜率是1/3,所求直线的斜率是3,所求直线方程为y+1=3（x3）即3xy10=0,解法二：所求直线在直线系2xy7+（x+2y1）=0中,经整理，可得（2+）x+（21）y7=0,解得=1/7,因此，所求直线方程为3xy10=0,例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点P在第一象限，求k的取值范围.,用两种方法,练习4：求经过两直线3x+2y+1=0和2x-3y+5=0的交点，且斜率为3的直线方程.,小结,1.求两条直线的交点坐标2.任意两条直线可能只有一个公共点，也可能没有公共点（平行）3.任意给两个直线方程，其对应的方程组得解有三种可能可能：1）有唯一解2）无解3）无数多解4.直线系方程的应用,3.3.2,两点间的距离,思考？,已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何点P1和P2的距离|P1P2|？,x,y,P1(x1,y1),P2(x2,y2),O,1、在数轴上两点的距离公式,A（xA，yA）B（xB，yB）,2.平行数轴的两点的距离,复习,X轴上两点,Y轴上两点,已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如何求P1P2的距离|P1P2|呢?,两点间距离公式推导,x,y,P1(x1,y1),P2(x2,y2),Q(x2,y1),O,x2,y2,x1,y1,两点间距离公式,特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为,一般地，已知平面上两点P1(x1，)和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1和P2的距离为,思考：向量法能推导出这个公式吗？,x,y,P1(x1,y1),P2(x2,y2),O,练习,1、求下列两点间的距离：(1)、A(6，0),B(-2，0)(2)、C(0，-4),D(0，-1)(3)、P(6，0),Q(0，-2)(4)、M(2，1),N(5，-1),解：,（1）,（2）,（3）,（4）,练习,2.已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的距离等于10，求点P的坐标。,4.已知ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(),试判断ABC的形状.,分析：计算三边的长，比较后可得结论.,思考,例1.过点A(4,a)和B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,|AB|=_.,例题分析,解：设所求点为P(x,0)，于是有,解得x=1，所以所求点P(1,0),练习1：已知点M(-1,3),N(5,1),P(x,y)到MN的距离相等,则x,y满足的条件是()A.x+3y-8=0B.x-3y+8=0C.x-3y+9=0D.3x-y-4=0,解析:由|PM|=|PN|,得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2,化简得3x-y-4=0.,答案:D,练习2:已知A(4,-3)B(2,-1)和直线l:4x+y-2=0,求点P使|PA|=|PB|,且点P在直线l上.,解:点P在直线l上,可设P(a,2-4a).又A(4,-3)B(2,-1),由|PA|=|PB|可得(a-4)2+(5-4a)2=(a-2)2+(3-4a)2,例3：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.,A(0,0),B(a,0),C(a+b,c),D(b,c),证明：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系.,则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c),建立坐标系，用坐标表示有关的量。,x,y,A,B,C,D,(0,0),(a,0),(b,c),(a+b,c),因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.,思考：你能用向量法证明吗？,用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：,第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量,第二步：进行有关代数运算,第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系,拓展,已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形？,例3设直线2x-y+1=0与抛物线相交于A、B两点，求|AB|的值.,小结,1.两点间距离公式,2.坐标法,第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量,第二步:进行有关代数运算,第三步:把代数运算结果翻译成几何关系,3.3.3,点到直线的距离,点到直线的距离,复习提问1、平面上点与直线的位置关系怎样？2、何谓点到直线的距离？,答案:1.有两种,一种是点在直线上,另一种是点在直线外.2.从点作直线的垂线,点到垂足的线段长.,思考？,已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？,x,o,P0,Q,l,y,点P到直线l的距离，是指从点P0到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足,分析思路一：直接法,点之间的距离（点到的距离）,L,L1,Q,P(x0,y0),L:Ax+By+C=0,已知：点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0，怎样求点P到直线L的距离呢？,根据定义，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长。,过点P作直线L1L于Q,怎么能够得到线段PQ的长?,利用两点间的距离公式求出|PQ|.,则线段PQ的长就是点P到直线L的距离.,解题思路：,步骤,(1)求直线L1的斜率；,(2)用点斜式写出L1的方程；,(3)求出Q点的坐标；,(4)由两点间距离公式d=|PQ|.,面积法求出P0Q,分析思路二：用直角三角形的面积间接求,R,S,d,x,y,P0(x0,y0),O,x0,y0,S,R,Q,d,点到直线的距离公式,点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：,x,y,P0(x0,y0),O,|x1-x0|,|y1-y0|,x0,y0,y1,x1,点到坐标轴的距离,x,y,P0(x0,y0),O,|y0|,|x0|,x0,y0,练习、求下列各点到相应直线的距离,例1.求点到直线的距离,解：,解:设所求直线的方程为y-2=k(x+1)即kx-y+2+k=0,由题意得,k2+8k+7=0,所求直线的方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.,2,-1,例2的变式练习求过点A(-1,2)且与原点的距离等于,(1).距离改为1;(2).距离改为;(3).距离改为3(大于).想一想?在练习本上画图形做.,例2的变式练习,(1).距离改为1,x=-1,4(y-2)=-3(x+1),2,-1,或x=-1(易漏掉),则用上述方法得4(y-2)=3(x+1),例2的变式练习,（2）.距离改为,2(y-2)=x+1,则得2(y-2)=x+1;,（3）.距离改为3(大于),则,2,3,-1,-3,无解。,例2的变式练习,直线经过点P,且A到的距离等于1,求直线的方程,设计意图：通过对学生在设直线方程的过程中产生的漏解问题，鼓励学生寻找思维上的漏洞，使学生在“错误体验”中加深记忆，突出几何直观和数形结合的思想方法，培养学生自我发现自我补充的学习能力，增强思维的批判性。,练习,例3已知点，求的面积,分析：如图，设边上的高为，则,边上的高就是点到的距离,即：,点到的距离,因此,解：,边所在直线的方程为：,小结,点到直线的距离公式的推导及其应用,点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：,练习2,1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.,2、求过点A（1,2），且与原点的距离等于的直线方程.,作业,P110习题3.3A组：8,9.3.3B组：2,4,3.3.4,两条平行直线间的距离,思考？,怎样判断两条直线是否平行？,2.如何定义两平行线l1和l2间的距离？,概念,两条平行直线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长,两平行线间的距离处处相等,思考？,设l1/l2，如何求l1和l2间的距离？,讨论：两条平行直线间的距离怎样求？,点到直线的距离,转化为,平行直线间的距离,例1已知直线和l1与l2是否平行？若平行,求l1与l2的距离.,例2求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.,两平行线间的距离处处相等,在l2上任取一点，如P(3,0),P到l1的距离等于l1与l2的距离,直线到直线的距离转化为点到直线的距离,解：,例3.求证：两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为,例4.若两条平行直线