第四章线性离散系统的数学描述与Z传递函数分析法

第4章线性离散系统的数学描述及Z传递函数分析法,本章主要教学内容,1.线性离散系统的数学描述与差分方程的解,2.Z传递函数,3.离散系统的误差特性,4.离散系统的稳定性,5.离散系统的动态特性,4.1线性离散系统的数学描述与差分方程的解,4.1.1线性连续系统与线性离散系统,1连续系统,输入r(t)，输出y(t).微分方程:,2离散系统,或,3微分方程转化为差分方程,离散化用差分代替微分,一阶导数（微分）,（后向差分）,二阶微分（导数）,三阶微分（导数）,积分,，T为采样周期,4.1.2差分方程的解法,1迭代法,2古典法,3Z变换法,仿照连续系统引入拉氏变换，可使求解微分方程的,微积分运算变为代数方程进行求解。对离散系统用Z,变换求解差分方程，使得求解运算变成了代数运算，,简化了计算方法。其步骤如下：,（1）对差分方程作Z变换（主要用到平移定理）；,（2）利用输出初始条件或求出初值y(0)，y(T)，,代入Z变换式；,（3）整理Z变换式求出,（4）由利用长除法、部分分式法,或留数法作Z反变换，可求出差分方程的解y(kT)。,例4.1-1某二阶离散系统的差分方程为,，输入为单位阶跃序列,初始条件为0，求y(k).,【解】,Z变换：,Z反变换,例4.1-2已知差分方程y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，,初始条件为y(0)=0，y(1)=1，求y(k).,【解】Z变换：根据超前定理，上式变为,Z反变换：,4.2Z传递函数,4.2.1Z传递函数的定义,Z传递函数也称为脉冲传递函数（pulsetransfer,Function），,（零初始条件下）,若已知R(z)和G(z)，则,4.1.2Z传递函数的求法,1由差分方程求Z传递函数,在零初始条件下，取Z变换,系统的特征方程,例4.2.1设线性离散系统的Z传递函数为,，求差分方程。,【解】,2积分环节的Z传递函数,传递函数,输入输出关系,y(t)采样后为y(kT),（前向矩形积分）,（后向矩形积分）,（梯形积分）,对上式分别作Z变换，整理后得Z传递函数为,！连续系统的积分环节G(s)中的s可以用不同的近似方法代替，即用不同的离散实现，但z=1的极点相同。,3由连续系统的传递函数G(s)求G(z),在连续系统中，输入是单位脉冲，输出是单位,脉冲响应函数h(t)，则有,在离散系统中，按定义有,步骤：G(s)h(kT),例4.2-2已知，求G(z)。,【解】,相当于将采样时间延长了T，根据Z变换的,线性定理和滞后定理，通过查表可得,4开环串、并联的Z传递函数,（1）两个离散环节串联,（2）两个连续的串联环节之间有理想采样开关,（3）两个串联环节之间没有采样开关,n个环节串联：,一般地，,图4.2-1环节串联,（4）环节并联,（a）,（b）（c）,5带有零阶保持器的开环Z传递函数,零阶保持器可分解成两个单位阶跃函数之差，,传递函数,Z传递函数,图4.2-3带有零阶保持器的Z传递函数,例4.2-3如上图所示，已知，求.,【解】,6闭环Z传递函数,设闭环系统输出信号的Z变换为Y(z)，输入信号的,Z变换为R(z)，误差信号的Z变换为E(z)，则定义,闭环Z传递函数,闭环偏差Z传递函数,（1）简单闭环Z传递函数,+,-,（2）复杂闭环Z传递函数（与采样开关的配置有关）,a.与之间没有采样开关,+,-,b.与之间有采样开关,+,-,c.与、与之间没有采样开关隔开,+,-,!闭环传递函数求不出来,因中分离不出.,4.3用Z传递函数分析线性离散系统的误差特性,稳态误差反映了系统的精度及抗干扰能力.,引起稳态误差的原因：,（1）系统的结构、参数,（2）输入信号的形式,（3）外来的干扰,（4）系统中的各种非确定性因素：如零件参数,离散，摩擦，不灵敏,在连续系统中，稳态误差的计算方法有两种：,（1）用拉氏变换终值定理,（2）从系统误差传递函数出发的动态误差系数法,由于离散系统没有唯一的典型结构形式，所以误差,脉冲传递函数也给不出一般的计算公式，离散系统的,稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。,4.3.1系统的结构、参数和输入形式与误差的关系,+,-,稳态误差,（终值定理）,系统的开环Z传递函数可写成,系统也分别称为0型，型，型，,系统。,1单位阶跃输入时的稳态误差,其中,当具有一个以上的极点(z=1)时，则,（3）若具有2个z=1的极点，则,（1）若具有0个z=1的极点，则,（2）若具有1个z=1的极点，则,2单位速度（斜坡）输入时的稳态误差,（3）当具有3个以上极点时，,（2）当具有2个极点时，,（1）当具有0,1个极点时，,3单位加速度输入时的稳态误差,三种信号输入时各类系统的稳态误差,4.3.2扰动作用下的系统稳态误差,+,-,由扰动引起的误差,其稳态误差,由输入引起的误差,由输入和干扰引起的总误差,4.4用Z传递函数分析线性离散系统的稳定性,连续线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统系,统的特征值具有负实部，即闭环系统的极点均分布,在S平面的左半平面。,线性离散系统是否稳定，要看闭环系统的Z传递函,数的极点分布情况。,令，则有,4.4.1S平面与Z平面的映射关系,Z变换的定义：,（4）当每变化一个，则对应地在Z平面上重复,（3）当0时，1，右半平面单位圆外部；,（2）当0时，1，左半平面单位圆内部；,（1）当时，虚轴单位圆；,画出一个单位圆。主频区。,（5）左半平面无穷远处对应Z平,面的圆心。,设，则,对应于Z平面：从原点出发，幅角的,（6）S平面上平行与实轴的直线,一条射线。,（7）S平面的一条射线，又称为等阻尼线。,即：z的模,z的相角,！对数螺旋线,都分布在Z平面上以原点为圆心的单位圆内：1.,4.4.2线性离散系统的稳定条件,线性离散系统稳定的充要条件：特征方程的全部,根，或者说闭环Z传递函数的全部极点，,+,-,!可用解析的方法说明,上图所示闭环系统的Z传递函数为,系统的特征方程,系统的输出为,设输入为，即，当无重极点,时，可分解为部分分式,若系统稳定，则随着时间增长，即时，,若1（i=1,2,n），则上式满足。若有一个根,大于1，系统不稳定；若有一个根的模等于1，则系,统处于临界稳定状态。,4.4.3系统稳定性判别方法（准则）,1（修正）劳斯-霍尔维茨稳定判据,S域：基于传递函数的连续系统稳定条件是特征根,的实部为负数可直接用劳斯判据,Z域：基于Z传递函数的离散系统稳定条件是特征,根的模小于1不能直接用劳斯判据？,作一种ZW变换，变换后W平面的左半平面对应,Z平面的单位圆内，于是在W域内可使用劳斯判据。,这种坐标变换称为W变换，或称为双线性变换。,若令，代入上式，则有,复变函数双线性变换,则有,Im,Z,Re,+1,-1,0,jv,W,0,u,Z-W映射关系,（1）r1，在Z平面的单位圆内，则u0，W平面的,左半平面；,（2）r1，在Z平面的单位圆内，则u0，W平面的,右半平面；,（2）作变换，经整理后得到；,系统的特征多项式经变换变成，,（3）r=1，在Z平面的单位圆上，则u=0，,表示为W平面上的虚轴。,劳斯判据,对使用劳斯判据，其步骤为,（1）求出离散系统的特征方程；,（3）对列写劳斯表，判别系统的稳定性。,例4.4-1利用劳斯判据，讨论图示系统的稳定性，其中,K=1，T=1s.,+,-,【解】,系统的特征方程为,采用双线性变换，即令可得W平面的特征方程,建立劳斯表,由劳斯判据可知系统稳定。,例4.4-2某离散系统如图所示。试用劳斯准则确定使,该系统稳定的k值范围，设T=0.25s.,【解】,Z特征方程,W特征方程,Routh表：,由Routh稳定判据，使系统稳定的k值范围为,0k17.3,另外，采样周期T对系统稳定性有影响，缩短采样周,期，会改善系统的稳定性。对于本例，若T=0.1s，,则0k40.5.,【结论】,（1）使用劳斯判据，可确定系统稳定极点的个数；,（2）可分析系统各参数（如放大系数K、采样周期T、,对象特征参数等）对系统稳定性的影响。,（3）控制系统中加入零阶保持器后，会使系统的稳定,性变差。,（4）开环放大系数K对离散系统稳定性的影响与连续,系统类似，K加大，系统稳定性变差。,2舒尔-科恩（Schour-Cohn）判据适用于高阶系统,线性离散系统的特征方程为,以三阶特征方程为例,当特征方程高于三阶时，可按上表的规则推出。,舒尔-科恩判据：若行列表中第一列单数行的各元素,均为正，则系统稳定。,3二阶系统的稳定性判据Z域直接判别法,设系统的特征方程为,当满足下列三个条件：,（1）1,（2）0,（3）0,则系统是稳定的。,例4.4-3在例4.4-2中，试用Z域直接判别法确定满足,系统稳定的K值范围。,【解】,特征方程,根据Z域直接判别法,1,0,0,可得满足系统稳定的条件为0k17.3.此结果与上,例用劳斯判据给出的结果相同。,（即超调量与过渡过程时间）。即,进行Z反变换，就可获得动态响应采样值y(kT)。将,设单位阶跃输入的输出的Z变换为Y(z)，那么对Y(z),4.5离散系统的动态特性,线性离散系统的动态特性是指系统在单位阶跃信,号输入下的过渡过程特性（或系统的动态响应特性）.,Y(kT)连成光滑曲线，就可获得系统的动态性能指标,一般地，采样系统的闭环脉冲传递函数可写成,输入：,输出：,对应的暂态响应分量是等幅的。,（2）极点在单位圆与正实周的交点，例如，,的暂态响应分量单调发散。,1闭环实极点对系统动态性能的影响,对上式取逆Z变换，得采样系统的输出响应，其中包,含稳态响应，及由实极点和复极点所引起的暂态响应.,（1）极点在单位圆外的实轴上，例如，对应,对应的暂态响应分量是正负交替的衰减,应的暂态响应分量单调衰减。,（3）极点在单位圆内的正实轴上，例如，对,（4）极点在单位圆内的负实轴上，例如，,振荡（周期为2T）。,（5）极点在单位圆与负实轴的交点，例如，对,应的暂态响应分量是正负交替的等幅振荡,（周期为2T）。,（6）极点在单位圆外的复实轴上，例如，对,应的暂态响应分量是正负交替的发散振,荡（周期为2T）。,2闭环复极点对系统动态性能的影响,（1）复极点在Z平面单位圆外，对应的暂态响应分量,是振荡发散的。,（2）复极点在Z平面单位圆上，对应的暂态响应是等,幅振荡。,（3）复极点在Z平面单位圆内，对应的暂态分量是,振荡衰减的。,综上所述，对离散系统极点分布作如下讨论：,（1）为使离散系统具有满意的瞬态特性，其闭环极,应尽量避免分布在Z平面单位圆的左半部，尤其不,要靠近负实轴。闭环极点最好分布在Z平