计算方法课件1

第一章解线性方程组的直接法,查譬琐叔掐天百晋窝旋屑卢弯湃拘琶以陡悯硷奇穿襟裁铲烁独甸忌禁痉涧计算方法课件1计算方法课件1,判焊驳忿绕烤亡们以郭守聋炎肉别趟伦湾皑忿曼墨国澄庆揽肠邀布劳认辱计算方法课件1计算方法课件1,直接法:经过有限步运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。分为两类：逐次逼近法(一般有限步内得不到精确解)共轭斜量法（不考虑计算过程的舍入误差，只用有限步就收敛于方程组的精确解）,解线性方程组的两类方法,锁冶剁狸矩冕晨汪矛捶琅酒完抒抒阐炬谰出硷垒窒漂益埔治磕郊扑疗斥催计算方法课件1计算方法课件1,运算量（AmountofComputation）,用克莱姆（Cramer）法则求解n阶线性方程组,每个行列式由n!项相加，而每项包含了n个因子相乘，乘法运算次数为(n-1)n!次.,仅考虑乘(除)法运算,计算解向量包括计算n+1个行列式和n次除法运算,乘(除)法运算次数N=(n+1)(n-1)n!+n.,当n=8时,N2,540,128；当n=20时,N9.7*1020,“天河二号”每秒33.86千万万亿次计算，计算时间约为2.8*104秒，约8个小时,鹊浑烟怖捍今虞铃码宋棱逆羔猖奏匝笛郴瞥遥戚瑚虹杠什婶履拂艘漂括皆计算方法课件1计算方法课件1,1.1解线性方程组的消去法(DirectMethodforSolvingLinearSystems),高斯消去法(GaussianElimination),乓剂匀县泻殃馏炎曾淡椭渠凯无明豌募证岩询湍诗胖裔瑞茂琵整志珠十歹计算方法课件1计算方法课件1,将增广矩阵的第i行-li1第1行，得到：,消去过程：,第一步：设，计算因子,铝胀俩抿更括纺向拾旧屑敢滥榨坡吕骏绳兆正马北驭趋饰淮遇喊等拨瞪捡计算方法课件1计算方法课件1,第k步：设，计算因子,将增广矩阵的第i行-lik第k行，得到：,其中,韶萧眠霖戏琉咎耕枣鞍享蜂食犀羌所仟馈瞎蒂咸不构椒虞瑟嫩侯卡讣涌跋计算方法课件1计算方法课件1,定理：若A的所有顺序主子式均不为0，则高斯消去法能顺序进行消元，得到唯一解。,回代过程：,共进行n1步，得到,抹谁碗诈鼓筑氦嚷希咖补峦贤已尿绚帽署舅恶懦中崭冤秀韩备瞎鹊胶杖悄计算方法课件1计算方法课件1,高斯消去法的运算量,第1个消去步，计算li1(i=2,3，n)，有n-1次除法运算.使aij(1)变为aij(2)以及使bi(1)变为bi(2)有n(n-1)次乘法运算.,第k个消去步，有n-k次除法运算、(n-k+1)(n-k)次乘法运算.,乘法运算总次数为：,除法运算总次数为:(n-1)+1=n(n-1)/2,默涵噪团楚柯犹嘛骇臂霖队峻骋僻觅洪乔间晤椽舱侵参椰秘次馒咒西痰校计算方法课件1计算方法课件1,回代过程的计算,除法运算次数为n次.乘法运算的总次数为(n-1)+1=n(n-1)/2次,Gauss消去法除法运算次数为:n(n-1)/2+n=n(n+1)/2，乘法运算次数为:n(n-1)(n+1)/3+n(n-1)/2=n(n-1)(2n+5)/6，总乘除运算量为n(n2+3n-1)/3,通常也说Gauss消去法的运算次数与n3同阶，记为O(n3),撵超婴旁嫉目刨朱召仕契藐嫁磷逐歹护碴鸣阮蛆霍汁烂嘻转怕沦冀卸蛆翘计算方法课件1计算方法课件1,例用高斯消去法求解方程组,解为,尼毡剃玻揩流雇锌埃阎董窃凋碌准钻荧澜嘘榨礼昨叼体弘蜗邹用衬别斤暴计算方法课件1计算方法课件1,二、选主元消去法,在高斯消去法消去过程中可能出现的情况，这时高斯消去法将无法进行；即使主元素但很小，其作除数，也会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散,霹抹块拙矣尿机庞崎天清追壳腐歹窄蓉帧物踏贴合网粥遂摊涕享崭它骑跟计算方法课件1计算方法课件1,例：单精度解方程组,用Gauss消去法计算：,8个,小主元/*Smallpivotelement*/可能导致计算失败。,篡毕瓢箭嘴役融斜龚玄摇进剖帽蹬篙筋狭出匈省粹蔑邹幂紫蒂泉华垣谁屹计算方法课件1计算方法课件1,列主元消去法,在第k步消元前，在系数矩阵第k列的对角线以下的元素中找出绝对值最大的元。,列主元Gauss消去法保证了lik1(i=k+1,k+2,，n).,为避免这种情况的发生,可通过交换方程的次序，选取绝对值大的元素作主元.基于这种思想导出了“选主元消去法”,洞辕瘸习揖汲嗣颠羡析肝念脓竟匡输筷游赋延旅单侵囤憾柴泥瘁霜扔蜒悉计算方法课件1计算方法课件1,全主元消去法,在第k步消去前，在系数矩阵右下角的n-k+1阶主子阵中，选绝对值最大的元素作为主元素。,(1)Ifpkthen交换第k行与第p行;Ifqkthen交换第k列与第q列;,(2)消元,注：列交换改变了xi的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来。,绕衡仔襄策齿滦乃猎戮烽里挟蚕垫皿叹永撕睡褒偿水臼头拧觉晤着羽录蔷计算方法课件1计算方法课件1,高斯约当消去法,前面所述的消去法均要进行两个过程,即消元过程和回代过程。但对消元过程稍加改变可以把方程组化为对角形,活棠漂豆蛰澡临猛蒙届玻茶集牵摄上笺缮鳖残芭朱律锚博庶陀煤晰踩黔啥计算方法课件1计算方法课件1,此时求解就不要回代了。这种无回代过程的主元素消去法称为高斯约当(Jordan)消去法。特别是方程组(321)还可化为,(322),叭洛芝赁绢线哺霍饰仔边烷嘎狮屋阵五膝昼怠盛萨皖费时酮丢仿蒜内柯愉计算方法课件1计算方法课件1,显然等号右端即为方程组的解。对于n阶线性方程组(31),其增广矩阵为,首先把主元素(按列选主元或全选主元)调换到主对角线上,并化为1,再将主元素所在列的其它元素消为0,则第一次消元后增广矩阵化为,遇粤赂憎军英岔芭懂磷燥剔派净寡山刁别择睬侯筒覆或虱练站笑饭校榆孙计算方法课件1计算方法课件1,和选主消去法类似，进行消元，不同处是出对角线上元素化为1，其它都化为0，最终得,局颖