现代通信原理PPT课件第2章+随机信号分析

,第2章随机信号分析,现代通信原理（第三版）宋祖顺宋晓勤宋平电子工业出版社,1,2,3,4,5,第2章随机信号分析,6,随机变量与概率分布,随机变量的函数,随机过程,通信系统的噪声,窄带高斯噪声振幅特性和相位特性,正弦波加窄带高斯噪声的统计特性,21概率论基础知识（略）22随机变量与概率分布221随机变量随机变量的定义：在随机试验中可能取这个值，也可能取那个值的量称为随机变量。我们常用、或、等字母表示。随机变量，代表的是随机事件的取值，这个取值是随机的（取值可以是连续的，也可以是离散的，取值最大范围为）,随机变量举例：1）电话站一天接到电话的次数：0，属离散型随机变量（取值是有限或为可数无穷）2）收音机输出的噪声：-3+3伏，属连续型随机变量(取值充满某一空间),222概率分布函数与概率密度1)分布函数：随机变量取值不超过的概率，即称为的概率分布函数，记为=概率分布函数特点：A.是概率所以B.(取值不会比再小)C.(取值总是不超过)D.是的单调不减函数曲线：(1).离散随机变量的分布函数曲线为阶梯波(见P16)(2).连续随机变量是光滑不減曲线(见P16),2)概率密度：分布函数的导数称为概率密度函数，记为概率密度函数曲线(见P16),概率密度函数特点：A）由于是单调不減函数，所以B）离散随机变量的概率密度函数为冲激函数，冲激强度为对应取该值的概率，见前页曲线。C）-面积为lD）E）边际概率密度：F）E）条件概率密度：,223多维随机变量和多维概率分布许多随机试验中，用一维分布函数与概率密度来描述是不够的，如射击的弹着点位置,要从纵横两个坐标的位置来确定；体检要求血压、脉膊、体温、转氨酶等多个指标衡量多维随机变量：二维分布函数：多维分布函数：二维概率密度：多维概率密度：,224随机变量的数字特征分布函数与概率密度能完整地描述随机变量，但它们很麻烦，人们有时并不关心随机变量详情，而是对它的某些特征感兴趣，这些特征主要有：数学期望、方差、协方差及相关函数。,1)数学期望：随机变量的统计平均值（随机变量所有可能的取值和它对应概率乘积的和）-物理意义：平均值记为：离散型：式中取值取值为的概率离散取值的个数连续型：单积分型式或重积分型式,1)数学期望：随机变量的统计平均值（随机变量所有可能的取值和它对应概率乘积的和）-物理意义：平均值记为：离散型：式中取值取值为的概率离散取值的个数连续型：单积分型式或重积分型式,数学期望性质：1.2.3.4.5.,数学期望的证明仅举两个例子讲解例1证明例2证明=,2).方差：随机变量与其数学期望之差平方的数学期望-物理意义：偏离中心值的程度记为等等性质：1.2.3.4.5.式中,举例2：证明所以：方差=平方的数学期望数学期望的平方。,3)相关矩数学期望和方差是随机变量的重要数字特征，其实它们是“矩”的特例。随机变量矩的定义：当称为原点矩当称为中心矩称阶数所以当即为数学期望当即为方差矩的概念扩展到多维随机变量（二维）：在多维矩中最有用的是二维二阶矩,在多维矩中最有用的是二维二阶矩：1)二维二阶原点矩：相关函数记为2)记为二维二阶中心矩：协方差函数记为,3)相关系数：若称不相关(即协方差函数等于0)。独立一定不相关，不相关不一定独立。即证明当独立时证明：因根据数学期望的性质，当,独立,乘积的数学期望等于数学期望的乘积。则对正态分布则：不相关就是独立(其它分布此结论不一定成立),2.2.5通信系统中常见的概率分布1.均匀分布-白噪声的相位为均匀分布,2.正态分布-同类、大量、互不相关的随机变量的取值服从正态分布,如噪声的瞬时值为正态分布。概率密度函数：,特点：1.数学期望方差2.图形以为轴对称3.4.曲线右移曲线变矮变胖。5.曲线与横轴包围的面积为l同时：6.称为标准正态，曲线见下页。7.,对标准正态因此积分不便计算，数学家已为我们制成了表格，称为正态函数数值表。A）该表是对标准正态而制作的，对非标准正态则按公式折算并查表，即可求出非标准正态分布函数。B）当0,则依据正态分布曲线对称性和它与横轴包围的面积为1则,8的误差函数表示：误差函数：误差反函数：上述四个表达式都能用来求，但考虑到表列的仅是为正值时的值，因此可供计算时选用。,3瑞利分布-噪声的包络为瑞利分布注意：A）B）噪声包络属瑞利分布,4莱斯分布-正弦波加窄带高斯噪声的包络为莱斯分布,23随机变量的函数随机变量的函数研究的问题：已知和与的关系，求或1.一维随机变量函数的分布：已知：为随机变量，的取值为,概率密为，的取值为,若有单值关系则:2二维随机变量函数分布-雅可比行列式已知：并且反函数成立则：,，,习题,5、6、7、8。,2.4随机过程,241随机过程的概念：定义1：随着时间推移不断出现的一族无穷多个随机变量称为随机过程，记为。例：收音机输出的噪声就是一个随机过程记为在时刻，收音机输出是一个随机变量，记为在时刻，收音机输出是一个随机变量，记为在时刻，收音机输出是一个随机变量，记为在时刻，收音机输出是一个随机变量，记为这些随着时间推移不断出现的多个随机变量就称为随机过程这是随机过程的一种定义。,定义2：随机过程可用无穷多次实现的集合来表示。例：我们对收音机输出的噪声进行观察并记录，得到时间波形，它常称为随机过程的一次取样或称一次实现,它是时间的确知函数。随机过程的随机性体现在：某一次观察,到底是那一个实现出现，它是随机的。第1次观察得到时间波形第2次观察得到时间波形第次观察得到时间波形第次观察得到时间波形这多个实现便构成随机过程每一个实现都是时间的确知函数，随机过程的随机性体现在试验中这无穷多个实现中那一个实现会出现，它是随机的。,242随机过程的分布函数与概率密度1随机过程的一维分布函数与一维概率密度（研究随机过程单个时刻的特性）也记为也记为随机过程的多维分布函数与多维概率密度（研究随机过程多个时刻的特性）维数越多，对随机过程描写越细緻，但研究越复杂、越麻烦。,243随机过程的数字特征1数学期望(一维)均值由于并不固定，可改为所以显然上述定积分的结果是的函数结论：随机过程的数学期望是时间的函数。,2.方差(一维)偏离均值的程度上述结果亦可用数学期望的性质进行推导：结论:1)随机过程的方差是时间的函数2)随机过程的方差等于随机过程平方的数学期望减去数学期望的平方。,3.协方差和相关函数(见P31页图),3.协方差和相关函数协方差：相关函数：与的关系：由此可见相关函数比协方差大，今后常常研究相关函数。,4互相关函数把相关函数的概念引到两个随机过程-互相关函数（为区別，前面研究的同一随机过程两个不同时刻的相关性，则称为自相关函数）显然它是的函数，或视为和的函数，其中,244平稳随机过程,1定义：若随机过程n维分布函数与概率密度与时间起点没有关系，则称此随机过程为平稳随机过程。对一维概率密度：它表示对平稳随机过程无论何时测量，一维分布的概率密度都是相同的。,2平稳随机过程的数字特征：1）数学期望：平稳随机过程的数学期望为常数(物理意义是：直流成份)2）方差：平稳随机过程的方差为常数(物理意义是：交流功率),3）协方差函数与自相关函数：(由于时间可以任取，因此与时间无关,便可去掉)平稳随机过程的自相关函数与时间的起点无关，仅是时间间隔的函数(协方差函数讨论从略),4)广义平稳：如果随机过程的数学期望、方差是常数，自相关函数是的函数，那么这样的随机过程称为广义平稳随机过程。前述的n维分布函数与n维概率密度与时间起点没有关系，被称为严格平稳或狭义平稳。通常,狭义平稳广义平稳对正态分布,狭义平稳=广义平稳,2.4.5平稳随机过程的自相关函数及功率谱密度,1.平稳随机过程的自相关函数为偶函数证明：,2.随机过程的统计平均功率(均方值)根据：,3.证明：,4.自相关函数与功率谱密度是一对富氏变换正变换反变换此关系常被用来求功率谱密度。,例：已知平稳随机过程内均匀分布求：及功率。,解：式中功率,2.4.6各态历经性与时间平均值随机过程的各个实现，如果都同样经历了随机过程的各种许可状态，那么我们把此特性称为各态历经性。具有各态历经性的平稳随机过程称为遍历平稳随机过程。遍历平稳随机过程在同一时刻有如下的取值：等许多取值遍历平稳随机过程的某一实现在不同时间有如下的取值：也有许多取值如果是遍历平稳随机过程,则上述两组取值有相同的分布。,如果是遍历平稳随机过程,则上述两组取值有相同的分布。-时间平均值-时间平均值-时间平均值各态历经性有重要的实用价值：它用于检验，对一台设备长期观察能代表对无数台设备同对进行观察。只要是具有各态历经性的平稳随机过程两者结果是相同的。,习题：9本节重点是对随机过程概念的理解。,2.4.7平稳随机过程通过线性系统,平稳随机过程通过线性系统的分析是完全建立在确知信号通过线性系统理论基础之上。,卷积公式：,随机过程加到线性系统，可以看成它的每一个实现(或称样本)加到线性系统。由于每一实现是时间确知信号，它加到线性系统，则对应一个输出信号。由于输入的实现有无穷多个，则对应的输出信号也有无穷多个，这无穷多个输出信号的集合便构成输出随机过程。我们需要研究的是输出过程的,对平稳随机过程-就是系统对直流的放大量因此上式说明：输出信号的数学期望是常数,它等于输入信号的数学期望与网络对直流的放大量的乘积。(因为数学期望是统计平均值，对随机信号而言数学期望是它的直流成份,输出直流=输入直流乘系统对直流放大量。),1.数学期望,2.自相关函数：,根据平稳随机过程：上述定积分的结果只能是的函数。根据公式：以上我们已经证明了：平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的数学期望、方差是常数，相关函数是的函数，因此输出过程也是平稳的。,3.功率谱密度：,根据维纳辛钦定理：输出功率谱密度=输入功率谱密度,4.概率分布：,分析很复杂(可运用随机变量函数的分布求，不过这个函数非常复杂,它就是传递函数)若输入为正态分布，则输出仍为正态分布，但数字特征发生了变化。,2.5通信系统的噪声,2.5.2高斯噪声n维高斯噪声的概率密度表示式：,式中：它是随机变量的数学期望；它是随机变量的方差相关系数矩阵行列式：是行列式中元素所对应的代数余因式。,：,所对应的代数余因式。,该表达式很复杂，但有如下特点：1高斯过程的n维概率密度完全由二阶以下的数字特征决定(即仅由数学期望、方差和协方差函数决定)。2对高斯过程，广义平稳=狭义平稳。3对高斯过程，不相关=独立。(教材40页有证明)4线性系统若输入为高斯过程，则输出也为高斯过程，但数字特征可能会发生改变。,253高斯白噪声及带限高斯白噪声,1）高斯白噪声(见下页图)式中-称双边功率谱密度-称单边功率谱密度-自相关函数，它为冲激函数。,2)低通带限高斯白噪声(见下页图)当以对低通带限高斯白噪声取样则，所以样值不相关，因是高斯分布，因此各样值独立。它的物理意义是：当以对低通带限高斯白噪声取样，则所得各噪声样值独立。,3）带通高斯白噪声(见下页图),习题,10、13、14、15、,26窄带高斯噪声的振幅特性和相位特性,窄带高斯噪声是比窄带高斯白噪声更为常见的一种噪声。2.6.1窄带高斯噪声的数学表示式：1.窄带确知信号表示式：只要式中与随时间是作缓慢变化，则的频带不会很宽，则为窄带信号。,2.窄带随机过程表示式：仿照上式，窄带随机过程为：-窄带高斯噪声(也称窄带随机过程)-窄带高斯噪声的振幅(随t缓慢变化)-窄带高斯噪声的相位(随t缓慢变化),式中：并且：,3.窄带高斯噪声研究的任务及方法,1)研究的任务：已知是平稳、零均、窄带、高斯噪声。求：的分布。,2)研究方法：a.先求的概率密度及联合概率密度b.用求随机变量函数分布的方法求出的联合概率密度c.用边际概率密度分别求出的概率密度。,2.6.2.概率密度的推导:,1.证明是广义平稳，并且服从高斯分布1)证明的数学期望为零(常数)：由于正交若要上式成立则：,2）证明自相关函数是的函数由于数学期望为0，所以,-它与无关当将上述结果带入表示式：所以：,同理当将上述结果带入表示式：所以：所以和的协方差函数仅是的函数。,3）证明和是平稳的已证明和的协方差函数仅是的函数。又因为和的数学期望为0，所以由于和的数学期望为常数（等于0），方差为常数，协方差函数仅是的函数。所以和是广义平稳，由于它们是正态分布，所以也是狭义平稳。,2.证明和独立,前已证明:也可写为：所以,根据上式，正交项系数相等，所以：因为上两等式右边也相等，因此得到：所以它是奇函数则它表示在同一时刻不相关，由于是正态分布，因此独立。,均为零均正态分布所以：所以：,3.求分布-雅可比行列式,4.求和-概率密度,-瑞利分布-均匀分布,习题,16、17、18。,27正弦波加窄带高斯噪声的统计特性正弦波加窄带高斯噪声也是通信系统分析中常遇到的情况，正弦波代表信号，而噪声就