流体力学与流体机械第4章

第四章流体动力学基本方程,第一节理想流体的运动微分方程第二节伯努利方程第三节动量方程第四节流动量矩方程,2020/5/3,1,第一节理想流体运动微分方程,2020/5/3,2,古典流体力学的创始人欧拉于1755年在理想流体假设的前提下，根据牛顿第二定律推导得到，又称为欧拉运动微分方程。,一、欧拉运动微分方程,二、欧拉运动微分方程的葛罗米柯-兰姆形式,2020/5/3,3,在理想流体中任取一微元直角六面体，其边长分别为dx，dy，dz，坐标的选取如右图。,六面体的形心点M(x,y,z)，该点的压强p(x,y,z,t),一、欧拉运动微分方程,受力分析：,2020/5/3,4,（1）x轴方向的表面力,EFGH表面上的压力,ABCD表面上的压力,x轴方向的表面力,2020/5/3,5,（3）根据牛顿第二定律，建立运动方程：,（2）x轴方向的质量力,经化简，得,同理,欧拉运动微分方程,2020/5/3,6,其矢量式为,单位质量流体的质量力；单位质量流体的压差力；单位质量流体的惯性力。,对于可压缩及不可压缩理想流体的定常或非定常流动均适用,2020/5/3,7,二、欧拉运动微分方程的葛罗米柯-兰姆形式,1、形式一,该方程可以显示流动是有旋还是无旋,2020/5/3,8,2、形式二,为了便于对欧拉运动微分方程积分，假设：,（1）定常流动，,（2）质量力有势，则存在力势函数W(x,y,z),某矢量a有势，指可以找到与之满足如右所示的关系式的函数W,2020/5/3,9,（3）流体为正压流体，存在一个压力函数PF，,压力函数PF在3个坐标方向的偏导数为,将上述3个假设条件代入方程,正压流体的密度只是压强的函数=f(p),形式二,第二节伯努利（Bernoulli）方程,一、伯努利积分,二、欧拉积分,三、理想流体的伯努利方程,四、粘性元流的伯努利方程,五、粘性总流的伯努利方程,六、伯努利方程的应用,七、伯努利方程的扩展,一、伯努利积分,将欧拉运动微分方程的葛罗米柯-兰姆形式进行积分,适用于正压、质量力有势的理想流体的定常流动,沿一条流线积分：,（1）方程各式两边依次乘以dx、dy、dz，得,（2）将3个等式相加，,因为定常流动，流线与迹线重合，所以,等号右边等于零，有,（3）积分上式，得,上式为伯努利积分，是正压理想流体在有势质量力作用下定常有旋流动时沿同一流线的积分。,Cl称为流线常数,二、欧拉积分,在前面的流体的限定条件下，补充流动无旋的条件，即,3式依次乘以dx、dy、dz，再相加,积分,CT称为通用常数,为任意微元线段的投影分量,上式为欧拉积分，是正压理想流体在有势质量力作用下定常无旋流动时的积分。,CT称为通用系数，表示全流场均适用。,需注意伯努利积分和欧拉积分的区别,三、理想流体的伯努利方程,质量力只计重力,力势函数：,将W代入伯努利积分和欧拉积分，得,不可压缩均质流体，,推导思路：将伯努利积分和欧拉积分的适用条件具体化,得到伯努利方程,这是重力作用下，理想不可压缩流体定常流动的伯努利方程。对于有旋流场，仅沿流线适用；对于无旋流动，对整个流场都适用。,或,1.几何意义z表示流体质点相对基准面的垂直高度，称为位置水头。p/g表示质点压强大小的液柱高度，称为压强水头。v2/2g表示质点速度大小的高度，称为速度水头。,总水头,理想流体伯努利方程的意义,测压管水头,伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速度水头之和即总水头为一常数。,对于有旋流动，同一流线上各点的总水头相同，见左图。对于无旋流动，流场中任意各点的总水头相同。,理想流体伯努利方程的意义,1,2,2.物理（能量）意义z表示单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，称为位置势能（位能）。p/g表示单位重量流体具有的压强势能（压能）。v2/2g表示单位重量流体具有的动能。,单位重量流体具有的机械能,单位重量流体的势能,理想流体伯努利方程的意义,伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和不变，即单位重量流体的机械能守恒。因此，伯努利方程又称为能量方程。,对于有旋流动，同一流线上各点的机械能相同；对于无旋流动，流场中任意各点的机械能相同。,每一项表示单位质量流体具有的能量,理想流体伯努利方程的意义,实际流体都具有粘性，在流动过程中会产生流动阻力，克服阻力做功，流体的一部分机械能将不可逆地转化为热能耗散，因此，实际流体的机械能沿程减小，总水头线沿程下降。根据能量守恒原理，粘性流体元流的伯努利方程为,单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的机械能损失，称为元流的水头损失，m。,四、粘性元流（微元流束）的伯努利方程,注意：1.无粘性流体流动的总水头线为水平线；2.粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线；3.测压管水头线可升、可降、可水平。4.总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。,1,2,1,2,五、粘性总流的伯努利方程,将粘性流体元流伯努利方程推广到总流。,取一段粘性流体的总流，过流断面1-1和2-2为渐变流断面。再取一段元流（微元流束），过流断面为dA1和dA2。,粘性流体元流的伯努利方程为,将该方程式两边同时乘以重量流量，得,表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。,积分上式，有,由连续性方程，上式可写作,表示单位时间通过总流过流断面的能量守恒。,如何对上式进行积分运算，是推导过程的关键。,将其分解，有,需确定3种类型的积分：,类型I,类型III,类型II,类型I,因所取过流断面1-1、2-2为渐变流（缓变流）断面，断面上流体压强按静压强规律分布，满足静压强基本方程,所以,类型II,为动能修正系数,用断面平均流速取代实际流速,所以,与断面流速分布有关，一般工业管道1。,类型III,所以,用取代，表示单位重量流体从过流断面1-1到2-2的平均机械能损失，称为总流的水头损失。,因此得到,因两断面间无分流及汇流，,化简，得到粘性总流的伯努利方程,总流伯努利方程式中各项的意义与元流伯努利方程中的对应项类似，但须注意总流伯努利方程中各项具有“平均”意义，如：,为总流过流断面上单位重量流体具有的平均势能；,为总流过流断面上单位重量流体具有的平均动能；,为总流两过流断面间单位重量流体的平均机械能损失。,总流,元流,测压管水头线,总水头线,基准面,定常流动；质量力只有重力；不可压缩流体；所取过流断面为渐（缓）变流或均匀流断面，但两断面间允许存在急变流；两过流断面间无分流或汇流；两过流断面间无其它机械能输入输出。,总流伯努利方程的应用条件：,过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外，一般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面。过流断面上的计算点原则上可以任意选取，但若计算点选取恰当，可使计算大为简化。例如，管流的计算点通常选在管轴线上，明渠流的计算点通常选在自由液面上。基准面是任意选取的水平面，但一般使z为正值。同一方程必须以同一基准面来度量，不同方程可采用不同的基准面。方程中的压强p1与p2可用绝对压强或相对压强，但同一方程必须采用同种压强来度量。,总流伯努利方程的注意事项：,1.总水头线和水力坡度,总水头线：沿程各断面总水头的连线。,粘性流体的总水头线沿程却单调下降，下降的快慢用水力坡度J表示,注意“”号,水头线及水力坡度：,2.测压管水头线和测压管水头线坡度,测压管水头线：沿程各断面测压管水头的连线。,测压管水头线变化的快慢用测压管水头线坡度Jp表示,注意：Jp为正值、负值、零时，测压管水头线的趋势。,1.沿程有能量输入或输出的伯努利方程当两断面间安装有水泵、风机或水轮机等流体机械装置时，流体流经水泵或风机将获得能量，流经水轮机将失去能量。设单位重量流体获得或失去的能量为H，根据能量守恒原理，可得有能量输入或输出的总流伯努利方程,注意：H前面的“”号,其它形式的总流伯努利方程,2.沿程有分流或汇流的伯努利方程,作分流面，划分为两支总流，根据能量守恒原理，可对每支总流建立伯努利方程,其它形式的总流伯努利方程,以分流情况为例：,两个等式两边分别乘以gQ2、gQ3，再相加,六、伯努利方程的应用,毕托管，又称为毕托管，是一种测量点流速的仪器，是理想流体元流伯努利方程在工程中的典型应用。,对1、2两点列伯努利方程,（一）皮托(Pitot)管,p静压；p0总压；动压,驻点,测压管,测速管,皮托管测速原理图,进行修正,皮托管测速公式,根据上述原理，将测速管和测压管组合成测量点流速的仪器，称为皮托管。两端开口的为测速管，用来测量总压。侧壁设有几个均匀分布小孔的管为测压管，用来测量静压。,皮托管,文丘里管是一种测量管道流量的仪器。文丘里管由收缩段、喉管与扩散段三部分组成。在文丘里管收缩段进口与喉管处安装测压管或压差计，测出两断面的测压管水头差，再根据伯努利方程便可实现对流体流量的测量。,（二）文丘里(Venturi)管,收缩段,喉管,扩散段,压差计,测压管,列1-1、2-2断面的伯努利方程，不考虑水头损失，,列1-1、2-2断面的连续性方程，,(a),(b),将式(b)代入式(a)，并令1=2=1，可得,因此，得到通过文丘里管的流量,是由文丘里管结构尺寸d1、d2而定的常数，称为仪器常数。,应注意测压管水头差的计算：,装测压管时，测压管水头差,装压差计时，测压管水头差,当管道中的流体是水，压差计的工作介质是水银时，,七、伯努利方程的扩展,介绍相对运动的伯努利方程,左图为离心式叶轮机械内的流体运动。流体从叶轮的内圈入口流入，经叶轮流道于外圈出口流出。流体在叶片间的运动包含由中心向外的运动和随叶轮以等角速度作的旋转运动，前者的运动速度称为相对速度，后者的运动速度称为牵连速度。,相对速度与叶片骨线相切，牵连速度两者合成绝对速度。,绝对液流角,相对液流角,速度三角形,假定：（1）流体是理想流体，定常流动；（2）叶片数目无穷多，叶片无厚度，水流只能沿叶片骨线方向运动。,运动微分方程为,沿流线1-2积分，将三个等式依次乘以dx、dy、dz，再相加，得,单位质量力,流线上任取1、2两点，有,离心力对液体所做的功,例1.如图所示，水池通过直径有改变的有压管道泄水，已知管道直径d1125mm，d2100mm，喷嘴出口直径d380mm，水银压差计中的读数h180mm，不计水头损失，求管道的泄水流量Q和喷嘴前端压力表读数p。,解:(1)以出口管段中心轴为基准，列1-1、2-2断面的伯努利方程，并令1=2=1,由总流连续性方程,两式联解,（2）列压力表所在断面及3-3断面的伯努利方程,则压力表读数,例2.如图所示，已知离心泵的提水高度z20m，抽水流量Q35L/s，效率10.82。若吸水管路和压水管路总水头损失hw1.5mH2O，电动机的效率20.95，试求：电动机的功率P。,吸水管路,压水管路,水泵抽水的相关概念：（1）水泵用来增加水流能量，把水从低处引向高处。（2）单位重量水体从水泵中获得的外加机械能，称为水泵的扬程，用H表示。（3）水泵功率，也称为水泵的装机容量，是指水泵的动力机（电动机）所具有的总功率，用P表示。（4）单位时间内重量为gQ的水流从水泵中获得的能量gQH称为水泵的有效功率，用Np表示，即。（5）水泵功率不可能全部转变为有效功率，设水泵总效率为，有。（6）水泵总效率等于水泵效率1和动力机效率2的乘积，即。,解：以吸水池面为基准，列1-1、2-2断面的伯努利方程,由于1-1、2-2过流断面面积很大，故v10，v20，并且p1p20，则,第三节动量方程总流动量方程是质点系动量定理在流体力学中的应用，它连同前面介绍的连续性方程、伯努利方程组成流体力学最基本、最重要的三大方程。主要用于求解运动流体对固体边壁的作用力。,质点系动量定理指出：质点系的动量对于时间的导数，等于作用于质点系的外力的矢量和，即,下面将质点系动量定理，改写为用欧拉方法描述的一维总流定常流动的动量方程。,一、总流的动量方程在定常不可压缩流场中，取一流管作为控制体，两过流断面1-1、2-2均为渐变流断面，同时该流管内包含流体质点系作为初始时刻的系统1。,控制体内的流体经dt时段，由1-2运动到1-2位置，则产生动量变化，新旧系统动量变化式为,对于定常流动，有,因此，,过流断面为渐变流断面，按平行矢量和法则，可对断面A1直接积分，得1-1流段内流体的动量,同理,所以,对于不可压缩流体,式中为动量修正系数，修正以断面平均流速代替实际流速计算动量时引起的误差，即,流速分布较均匀时，=1.021.05，通常取=1.0,用断面平均流速取代实际流速,由连续性方程Q1=Q2=Q,由质点系动量定理，有,上式即为总流动量方程的矢量表达式。为方便计算，常将它投影到三个坐标轴上，有,表示作用于控制体的合外力等于单位时间流出控制体的动量减去流进控制体的动量。,定常流动；所取过流断面为渐变流或均匀流断面；不可压缩流体。,动量方程的应用条件,总流动量方程对理想流体和实际流体均适用。对作用在控制体内流体的外力作全面分析。特别注意作用在两过流断面的外力为断面上相对压强与过流断面面积的乘积。总流动量方程式中的动量差是指流出控制体的动量减去流入控制体的动量，两者不能颠倒。宜采用动量方程的投影式进行计算。需正确确定外力和流速的投影正负。流体对固体边壁的作用力F与固体边壁对流体的作用力F是一对作用力和反作用力。,注意事项,选取控制体；对作用在控制体内的流体进行受力分析；建立动量方程，求出固体边壁对流体的作用力F；依据作用力与反作用力关系，得到运动流体对固体边壁的作用力F。,计算步骤,例3.如图所示，有一水平放置的变直径弯曲管道，d1500mm，d2400mm，转角45，断面1-1处流速1.2m/s，相对压强p1245kPa。若不计弯管水头损失，试求水流对弯管的作用力分量Fx、Fy。,解:(1)取过流断面1-1、2-2及管壁所围成的空间为控制体。,(2)分析作用在控制体内流体上的力，包括：过流断面上的压力P1、P2；弯管对水流的作用力Fx、Fy；选直角坐标系xoy，重力在xoy水平面上无分量。,以管轴线为基准，列1、2断面伯努利方程,(3)令121，列总流动量方程x，y轴方向的投影式,（4）水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力，大小相等方向相反，即,方向与ox轴方向相同,方向与oy轴方向相同,例4.如图所示，夹角呈60的分岔管水流射入大气，干管及管的轴线处于同一水平面上。已知10m/s，d1200mm，d2120mm，d3100mm，忽略水头损失，试求水流对分岔管的作用力分量Fx、Fy。,解：（1）取过流断面1-1、2-2、3-3及管壁所围成的空间为控制体。,（2）分析作用在控制体内流体上的力，包括：过流断面1-1上的压力P1；过流断面2-2和3-3上的压力P2P30；分岔管对水流的作用力Fx、Fy；选直角坐标系xoy，重力在xoy水平面上无分量。,以分岔管轴心线为基准线，列1、2断面伯努利方程,(3)令121，列总流动量方程x，y轴方向的投影式,（4）水流对分岔管的作用力,方向与ox轴方向相同,方向与oy轴方向相反,例5.如图所示，水平方向的水射流以6m/s的速度冲击一斜置平板，射流与平板之间夹角60，射流过流断面面积A00.01m2，不计水流与平板之间的摩擦力，试求：（1）射流对平板的作用力F；（2）流量Q1与Q2之比。,解：取过流断面1-1、2-2、0-0及射流侧表面与平板内壁为控制面构成控制体。,受力分析：过流断面1-1、2-2、0-0的压强可认为等于大气压强。因不计水流与平板之间的摩擦力，则平板对水流的作用力F与平板垂直。,列y轴方向的动量方程,则射