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第9章定积分,定积分概念牛顿莱布尼茨公式可积条件定积分的性质微积分学基本定理定积分计算(续)可积性理论补叙*,第9.1节定积分概念(ConceptionsofdefiniteIntegrals),问题的提出定积分的定义定积分的几何意义,实例1曲边梯形的面积问题(AreaProblem),一、问题的提出(Introduction),要解决两个问题:一个是给出面积的定义;一个是找出计算面积的方法.微积分的最大功绩在于,用干净利索的方法解决了这一问题,并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算.,曲边梯形:,用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积,(四个小矩形),(九个小矩形),解决问题的基本思路:局部以“直”代“曲”,即,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,(i)分割,(ii)作积,(iii)求和,曲边梯形面积的近似值为,(iv)取极限,积分和或黎曼和,分割的模,实例2变速直线运动的路程问题,把整段时间分割成若干小段;每小段上速度看作不变,求出各小段的路程近似值;相加得到路程的近似值;最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,对于匀速运动:路程=速度时间,解决该问题的思路:局部以“匀速”代替“非匀速”,(i)分割,(iii)求和,(iv)取极限,(ii)作积,并称J为f在a,b上的,及任意,定积分,记作,二、定积分的定义(DefinitionofDefiniteIntegral),定义,积分上限,积分下限,黎曼和,a,b积分区间,注意(i),(ii),(iii),(iv),曲边梯形的面积,变速直线运动的路程,中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求,f(x)在每个小区间xi1,xi上变化不大,这相当于,要求f(x)有某种程度上的连续性.,(v),a,b上的一致连续性,可证f(x)在a,b上可积.,以后将知道f(x)在a,b上连续时,利用f(x)在,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,三、定积分的几何意义,例1利用定义计算定积分,解,为方便起见,则,于是,解,例2,面积值为圆的面积的,解,证,利用对数的性质,得,极限运算与对数运算换序,得,故,解答,原式,思考题,将和式极限表示成定积分.,小结,.定积分的实质:和式的极限,.定积分的思想方法:,求近似以直(不变)代曲(变),取极限,与区间及被积函数有关;B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关;D.与被积函数的形式无关,4.,中,积分上限是积分下限是积分区间是,2.,及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为,与直线,由曲线,举例,2,-2,-2,2,0,A,3.定积分,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和

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