数学分析第4章

数学分析电子教案,重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云62460842shensy,第二篇单变量微积分学,第一部分单变量微分学,第四章导数与微分,在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化率。如物体的运动速度，电流强度，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。,本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念导数与微分。导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。,第一节导数的引进与定义,导数的引进导数的定义及几何意义,一、导数的引进,1.速度问题,如图,取极限得,以自由落体为例,类似地,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,二、导数(derivative)的定义及几何意义,1.定义,即,其它形式,特别地,关于导数的说明：,导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质,2)右导数(righthandderivative),2.单侧导数,1)左导数(lefthandderivative),定理,解,例2,解,例3,解,3.可导与连续的关系,证,#,推论：不连续函数一定不可导,如例1,1)几何意义,切线方程为,法线方程为,4、导数的几何意义与物理意义,切线问题,解,由导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,解,用定义求函数导数的步骤,第二节简单函数的导数,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例3幂函数的导数,例4,解,特别地,例5,解,特别地,例6,解,由导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,第三节求导法则,一、导数的四则运算,定理,证明1):,例1,求的导数,解:,证明2):,例2,求的导数.,解:,例3,求的导数,解:,证(3),推论,例4例题分析,1.,解,2.,解,3.,解,例5,解,同理可得,例6,解,同理可得,例7,解,注意:,2.分段函数求导时,分段点处导数用定义先求左右导数.,二、反函数的导数,定理,即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,1、反函数的导数,证,于是有,2.反三角函数的导数,解,同理可得,例8,例9,解,特别地,3.对数函数的导数,4.基本导数公式,(常数和基本初等函数的导数公式),求导法则,(1)函数的和、差、积、商的求导法则,(2)反函数的求导法则,例10.,解：,第四节复合函数求导法,一.复合函数求导链式法则,定理,即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),证,推广,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,同理可得,(与三角函数不同),例5,例6,解,例7,解,例8.,求,解:,例9.,设,解:,求,求导举例,求下列函数的导数,半抽象半具体的函数求导,解,解,注意,解,二.对数求导法,等式两边取对数得,例13,解,等式两边取对数得,解,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,然后利用对数的性质简化求导运算。,对数求导法,适用范围:,例15,解,等式两边取对数得,例16,解,这函数的定义域,两边取对数得,两边对x求导得,两边取对数得,两边对x求导得,同理,例5,解,两边取对数得,两边对x求导得,例6,解,两边取对数得,两边对x求导得,四、小结,反函数的求导法则（注意成立条件）;,复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;,已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.,分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.,函数的和、差、积、商的求导法则,思考题,第五节微分及其运算,一、微分的定义,二、微分的运算法则,1.问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,一、微分的定义,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,2、微分的定义,定义,由定义知:,(微分的实质),3、可微的条件,定理,证,(1)必要性,(2)充分性,4.微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),二、微分的运算法则,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,2.基本初等函数的微分公式,3、函数微分的计算方法,（1）利用微分运算法则,例1求的微分。,解,（2）利用函数的导数求微分，即,例求的微分。,解因为所以,例2,解,例3,解,4、一阶微分形式的不变性,结论：,一阶微分形式的不变性,利用一阶微分形式的不变性,例4求的微分。,解由一阶微分形式不变性，可得,例6,解,例5,解,杂例,例1,例2,例3,1)、计算函数增量的近似值,例1,解,5.微分在近似计算中的应用,1)、计算函数增量的近似值,例1,解,2、计算函数的近似值,例1,解,常用近似公式,证明,第六节隐函数及参数方程所表示函数的求导法,一、隐函数的导数二、参数方程所的表示的函数的求导法三、相关变化率,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边对x求导,y看成x的函数.,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,二、参数方程所表示的函数的求导法,例如,消去参数,问题:消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,例4,解,例5,解,所求切线方程为,例6,证,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对t求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例7.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为500m时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则,两边对t求导,已知,h=500m时,第七节不可导的函数举例,1.导数的定义2.左、右导数的定义及与导数的关系,1.导数定义,2)右导数(righthandderivative),2.单侧导数,1)左导数(lefthandderivative),定理,连续函数不存在导数举例,例1,解,例如,例2证明,证明,例如,例3,解,例4,解,例6,解,例5,在什么条件下，函数,解,首先注意到,是初等函数，连续,因此要使,要使,f(x)在x=0处不连续,一定不可导.,存在,此时,要使,要使,存在,此时,注,通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续，再到二阶可导，所要求的条件逐步加强。,例7,此种题型必须先考虑连续性得到一个关系式,再由可导得到另一个关系式,联立求解参数.,第八节高阶导数与高阶微分,一、高阶导数的定义,二、高阶导数求法举例,三、高阶微分,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求法举例,例1,解,1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例2,解,同理可得,例3,解,同理可得,例4,解,特别地,例5,解,注意,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),例6,解,2.高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,例7,解,3.间接法,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.,例8,解,例9,解,4.隐函数的高阶导数,用复合函数求导法则,直接对方程两边对x逐次求导,(y是x的函数),最后解出y的高阶导数.,例10,解,5.参数方程所表示的函数的高阶导数,例11,解,例12,设连续，,求.,不一定存在,故用定义求,解,例15,例16,例5,一阶微分的定义,三高阶微分,若可微时，称它的微分,为y的二阶微分，记为.当可微时，,一般地，当y的n-1阶微分可微时，,为y的三阶微分，记为,称它的微分,二阶微分：,n阶微分：称n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作,高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。,1高阶微分的定义,2.高阶微分的求法,用同样的方法，得,这里dx的是x处的产生的增量,与变量x无关,视作常数,即y的n阶微分等于它的n阶导数乘上自变量的微分,的n次方.,但对于复合函数我们就不能得出这一公式,这时才回能到前面导出的公式,这里当u的是自变量x时,这