（浙江专版）2018年高考数学 母题题源系列 专题17 直线与椭圆、抛物线的位置关系.docVIP

专题十七 直线与椭圆、抛物线的位置关系【母题原题1】【2018浙江，17】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m1)上两点A，B满足=2，则当m=_时，点B横坐标的绝对值最大【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以 ，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.【母题原题2】【2018浙江，21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（）若P是半椭圆x2+=1(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围【答案】（）见解析；（）详解：（）设，因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根所以因此，垂直于轴（）由（）可知所以，因此，的面积因为，所以因此，面积的取值范围是点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.【母题原题3】【2017浙江，20】如图，已知抛物线x2=y.点A-12，14，B32，94，抛物线上的点P（x,y）-12x32,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求PAPQ的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）2716.【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分.（）由斜率公式可得AP的斜率为x-12，再由-12x32，得直线AP的斜率的取值范围；（）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达|PA|与|PQ|的长度，通过函数f(k)=-(k-1)(k+1)3求解|PA|PQ|的最大值试题解析：（）设直线AP的斜率为k，k=x2-14x+12=x-12，因为-12x4，求MAB面积S的最小值.【答案】(1)x2=4y.(2)32.【解析】分析：（）根据抛物线的准线方程可得p，故抛物线的方程可求出.（）求出过Mx0,y0的圆的切线MA,MB的方程后可得A,B两点的横坐标，它们可用x0,y0及其相应的斜率表示，因此SMAB也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和x02=4y0消元后可用关于y0的函数表示SMAB，求出该函数的最小值即可.详解：（）设抛物线C的方程为x2=2py(p0)，则p2=1，p=2，所以抛物线C的方程是x2=4y.（）设切线y-y0=k(x-x0)，即kx-y+y0-kx0=0，切线与x轴交点为x0-y0k,0，圆心到切线的距离为d=-2+y0-kx0k2+1=2，化简得(x02-4)k2+2x0(2-y0)k+y02-4y0=0设两切线斜率分别为k1,k2，则k1+k2=-2x0(2-y0)x02-4,k1k2=y02-4y0x02-4,y04S=12x0-y0k1-x0-y0k2y0=12k1-k2k1k2y02=2y0x02+y02-4y0y0-4=2y02y0-4=216y0-4+(y0-4)+832，当且仅当y0=8时取等号.所以切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32.3【腾远2018年（浙江卷）红卷】如图，直线l:y=kx+m与抛物线E:x2=4y相交于A,B两点，F是抛物线E的焦点，若抛物线E上存在点C，使点F恰为ABC的重心.（1）求m的取值范围；（2）求OAB面积的最大值.【答案】（1）-1203-43-2m8-2m0，即可求解；详解：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，由y=kx+mx2=4y，得x2-4kx-4m=0，由=16k2+16m0，得k2+m0，则x1+x2=4k,x1x2=-4m，所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m，由点F(0,1)为ABC的重心可得x1+x2+x33=0y1+y2+y33=1，则x3=-4ky3=3-4k2-2m，且y3=3-4k2-2m0，而(-4k)2=4(3-4k2-2m)，即k2=3-2m8，代入得3-2m8+m03-43-2m8-2m0，解得-12m32，所以m的取值范围为-12m32.（2）原点O到直线l:y=kx+m的距离d=|m|1+k2，|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=41+k2k2+m，SOAB=12|AB|d=1241+k2k2+m|m|1+k2=2k2+m|m|=23-2m8+m|m|=32(2m3+m2)设f(x)=2m3+m2,-12m32，则f(m)=6m2+2m=2m(3m+1)，由f(m)=0得m=0或m=-13，则f(m)在(-12,-13),(0,32)上递增，在(-13,0)上递减，即f(m)在-13或32处取得最大值，而f(-13)=127,f(32)=9，所以f(m)max=f(32)=9，所以(SOAB)max=329=362.点睛：本题主要考直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.4【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】已知椭圆C：x24+y2=1的左，右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)（1）求实数m的取值范围；（2）求|PF1|PM|的最大值【答案】（1）-32m32；（2）332【解析】分析：（1）设P(x0，y0)(y00)，则x024+y02=1，求出PF1，PF2的方程，利用角平分线的性质，由点到直线距离公式可得m+332x0+2=3-m2-32x0，m=34x0，结合-2x02，可得结果；（2）|PF1|PM|=(32x0+2)1-3x0216=38(x0+43)2(163-x02)，设f(x)=(x+43)2(163-x2)(-2x2)，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得f(x)f(23)=48，从而可得结果.详解：（1）设P(x0，y0)(y00)，则x024+y02=1. 又F1(-3，0)，F2(3，0)， 所以直线PF1，PF2的方程分别为：lPF1:y0x-(x0+3)y+3y0=0lPF2:y0x-(x0-3)y-3y0=0 因为my0+3y0y02+(x0+3)2=my0-3y0y02+(x0-3)2 所以m+3(32x0+2)2=m-3(32x0-2)2因为-3m3,-2x02，可得m+332x0+2=3-m2-32x0，所以m=34x0， 因此-32m32（2）|PF1|=(x0+3)2+y02=3x024+23x0+4=32x0+2 |PM|=(x0-34x0)2+y02=1-3x0216 所以|PF1|PM|=(32x0+2)1-3x0216=38(x0+43)2(163-x02)设f(x)=(x+43)2(163-x2)(-2x0-2x0)的直线l交椭圆C于另一点B，线段AB的中点为M，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于点N，ABN的面积为k，求k的值.【答案】(1)x24+y2=1;(2)32.【解析】分析：（1）根据抛物线的性质可得椭圆中的b=1，再根据三角形的面积求出c，根据a2=b2+c2=4，即可求出椭圆方程，（）过点A的直线方程为y=kx+1(k0)，代入到由y=kx+1x2+4y2=4得(4k2+1)c2+8kx=0，可求出B点的坐标，再求出M的坐标和N的坐标，以及|AB和点N到直线AB的距离，根据三角形的面积求出k的值详解：（2）由题意设直线l的方程为y=kx+1(k0)，设点B(x0,y0)由y=kx+1x2+4y2=4得(4k2+1)c2+8kx=0解得x0=-8k4k2+1,y0=1-4k24k2+1B(-8k4k2+1,1-4k24k2+1),M(-4k4k2+1,14k2+1)，|AB|=(-8k4k2+1)2+(1-4k24k2+1-1)2=8kk2+14k2+1直线OM斜率kOM=14k2+1-4k4k2+1=-14k，直线OM的方程为y=-14kx，由y=-14kxx2+4y2=4得N(-4k4k2+1,14k2+1)点N到直线l：kx-y+1=0的距离为d=|-4k4k2+1-14k2+1+1|k2+1=|1-4k2+1|k2+1=4k2+1-1k2+1SABN=12|AB|d=128kk2+14k2+1(4k2+1-1)k2+1=4k(4k2+1-1)k2+1SABN=k，4k(4k2+1-1)k2+1=k，又k0，4(4k2+1-1)=4k2+1令t=4k2+1，则t2-4t+4=0，解得t=24k2+1=2，k2=34，解得k=32或k=-32（舍）k的值为32.6【2017年天津卷】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点， 到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点， 关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】（）， .（），或.【解析】试题分析：由于为抛物线焦点， 到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.试题解析：（）解：设的坐标为.依题意， ， ， ，解得， ， ，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.7【2018年浙江省模拟】设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同两点，线段中点为，射线与抛物线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）求面积的最小值.【答案】（1）；（2）详解：（1）设直线方程为，代入得设，则， ， .设，由消去得中点的轨迹方程为（2）设.， 由点在抛物线上，得.又，点到直线的距离又 .所以， 面积 设，有，故在上是减函数，在上是增函数，因此，当时取到最小值.所以， 面积的最小值是.8【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知抛物线y2=x和C：(x+1)2+y2=1，过抛物线上的一点P(x0,y0)(y01)，作C的两条切线，与y轴分别相交于A，B两点.（）若切线PB过抛物线的焦点，求直线PB斜率；（）求面积ABP的最小值.【答案】（）k=43；（）23.【解析】试题分析：（）由抛物线的焦点坐标设切线PB的方程为：kx-y-14k=0.利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得k=43，结合图形可知直线PB斜率k=43.（）设切线方程为y=kx+m，由点P在直线上，则k=y0-mx0，直线与圆相切，则m2-2km-1=0，据此可得(x0+2)m2-2y0m-x0=0，则m1+m2=2y0x0+2，m1m2=-x0x0+2，而AB=m1-m2=2x02+3x0(x0+2)2，SABP=12ABx0=x02(x02+3x0)(x0+2)2(x01).令g(x)=x2(x2+3x)(x+2)2(x1)，则g(x)=x2(2x2+11x+18)(x+2)30，故g(x)min=g(1)=49，SABP的最小值为23.试题解析：（）抛物线的焦点为F14,0，设切线PB的斜率为k，则切线PB的方程为：y=kx-14，即kx-y-14k=0.k(-1)-10-14kk2+1=1，解得：k=43.P(x0,y0)(y01)，k=43.（）设切线方程为y=kx+m，由点P在直线上得：k=y0-mx0圆心C到切线的距离-k+mk2+1=1，整理得：m2-2km-1=0将代入得：(x0+2)m2-2y0m-x0=0设方程的两个根分别为m1，m2，由韦达定理得：m1+m2=2y0x0+2，m1m2=-x0x0+2，从而AB=m1-m2=(m1+m2)2-4m1m2 =2x02+3x0(x0+2)2，SABP=12ABx0=x0x02+3x0(x0+2)2 =x02(x02+3x0)(x0+2)2(x01).记函数g(x)=x2(x2+3x)(x+2)2(x1)，则g(x)=x2(2x2+11x+18)(x+2)30，g(x)min=g(1)=49，SABP的最小值为23，当x0=1取得等号.9【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】如图，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B，M,N是椭圆E上异于A,B的两点，直线AM,BN交于点P(4,t)，且P位于第一象限（）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（）记PMN,PAB的面积分别是S1(t),S2(t)，求S1(t)S2(t)的最小值【答案】（）t=3；（）t=3时，(S1(t)S2(t)min=34.【解析】试题分析：（）第一问，联立直线AM和BN的方程得到它们的交点P的坐标P(4x0,2y0x0)，由题得4x0=4，得到x0,y0的值，得到t的值. ()第二问，先算出S1(t),S2(t)的表达式，再得到S1(t)S2(t)的解析式，再利用导数或二次函数求它的最小值. ()直线AM的方程为y=t6(x+2)，代入椭圆的方程并整理得：(t2+27)x2+4t2x+(4t2-108)=0 解得M(54-2t2t2+27,18tt2+27) 直线NB的方程为y=t2(x-2)，代入椭圆的方程并整理得：(t2+3)x2-4t2x+4t2-12=0 解得N(2t2-6t2+3,-6tt2+3)所以S1(t)S2(t)=|PM|PN|PA|PB|=|yM-yPyA-yP|yN-yP|yB-yP|=|18tt2+27-t-t|-6tt2+3-t-t|=t2+9t2+27t2+9t2+3 =1-108(1t2+9)2+121t2+9+1当1t2+9=118，即t=3时，(S1(t)S2(t)min=34.10【2018届浙江省嵊州市高三上期末】如图，已知抛物线，点， ，抛物线上的点 ，直线与轴相交于点，记， 的面积分别是， .（1）若，求点的纵坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由斜率公式可得， .由，得即，得；（2）设直线： ，则，联立，消去得，则， ，由弦长公式及点到直线距离公式可得，利用二次函数的性质可得结果.试题解析：（1）因为，.由，得即，得（2）设直线： ，则，由，知.联立，消去得，则， .所以 ， ，点到直线的距离 .所以 故当时， 有最小值.方法2：设（），则，所以直线： ，则.又直线： ， .则点到直线的距离为，点到直线的距离为所以 .故当时， 有最小值.11【2018届浙江省杭州市高三上期末】已知椭圆，直线，设直线与椭圆交于两点.（）若，求实数的取值范围；（）若直线的斜率成正等比数列（其中为坐标原点），求的面积的取值范围.【答案】（）或.（）【解析】试题分析：(1)由直线与椭圆交于两点，联立直线与椭圆方程，解得，根据，求出实数的取值范围(2) 设， ，由直线的斜率成正等比数列，得，计算得，再由点到直线的距离算出，算出面积表达式 ，计算出范围解析：（）联立方程和，得，所以，所以，所以，即，解得或.（）设， ，则， ，设直线的斜率，因为直线的斜率成等比数列，所以，即，化简，得，即.因为，原点到直线的距离，所以 ，当时，直线或的斜率不存在，等号取不到，所以.12.【河南省周口市2016-2017学年高二下学期期末】已知抛物线C1：x2=2py（p0）的焦点为F，