D2_4 连续型随机变量及其概率密度

,第二章,一、连续型随机变量及其概率密度,第四节,连续型随机变量及其概率密度,二、常见连续型分布,一、连续型随机变量及其概率密度,定义,负可积函数,数，,简称为概率密度或密度函数.,存在非,分布函数与密度函数几何意义,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数,F(x)是连续函数，且在f(x)的连续点处，,连续型随机变量密度函数的性质,注意1:对于连续型随机变量,PX=a=0,其中a是随机变量X的一个可能的取值,即连续随机变量取任一常数的概率为零,强调概率为0(1)的事件未必不发生(发生),事实上,连续型随机变量分布函数的性质,1.,对一个连续型随机变量,若已知其密度函数,则概据定义，,可求得其分布函数,同时，,注2：对于任意两个常数a,b,注3.,则,由定义和积分上限函数导数公式即得，,由(1)式得：,例1,例2,(1),确定常数,解,由,得,解得,解,由,得,解得,其它,.,例2,设随机变量,具有概率密度,(2),求,的分布函数,解,的分布函数为,解,.,例2,设随机变量,具有概率密度,(3),求,解,例2,设随机变量,具有概率密度,(3),求,解,或,例2,求,解,由连续型随机变量分布函数的性质,有,(1),例2,求,解,(2),的密度函数为,例2,求,解,(2),的密度函数为,注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值.,这一讲我们介绍了r.v的分布函数.,1设随机变量X的分布函数为:,求:,课堂练习,答案：,2随机变量X为连续随机变量,其密度函数为,(1)求常数c,(2)计算,例1,课堂练习,解,(1)令,c=3/8,(2),作业,P53习题2-42；3；,常用连续型分布,定义,其它,易见，,记为,1.均匀分布,X的分布函数为,均匀分布的概率背景,进行大量数值计算时,若在小数点后第k位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从的随机变量,即X落在(a,b)内任何长为dc的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,应用场合,例4某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.,解,依题意，XR(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.,2.指数分布,定义,其中,简记为,易见，,其他,对于任意的0ab,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似,例5设打一次电话所用时间X（单位：min）服从参数为0.2的指数分布，如果有人刚好在你前面走进公用电话间并开始打电话，求你将等待：,（1）超过5分钟的概率；,（2）5分钟到10分钟之间的概率。,解X的密度函数为：,（1）,（2）,例5,已知其参数,求3个这样的元件使用1000小时,至,少已有一个损坏的概率.,解,由题设知,的分布函数为,由此得到,各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用,表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,例5,已知其参数,求3个这样的元件使用1000小时,至,少已有一个损坏的概率.,解,各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用,表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,所求概率为,则,3.正态分布,定义,记为,易见，,又利用泊松积分,易证，,正态分布,易证，,注：,正态分布是概率论中最重要的连续型分布，,在十九世纪前叶由高斯加以推广，,故又常称为高,斯分布.,正态分布,正态分布的图形特征,1.,密度曲线关于,对称；,2.,曲线当,时达到最大值,3.,曲线在,处有拐点且以,正态分布的图形特征,4.,正态分布的图形特征,位置参数,即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同,形状参数,固定，对于不同的，f(x)的形状不同.,一般来说，,一个随机变量如果受到许多随机因素,的影响，,而其中每一个因素都不起主导作用，,则它服从正态分布.,例如，,产品的质量指标，,元,件的尺寸，,某地区成年男子的身高、体重，,测量,误差，,射击目标的水平或垂直偏差，,信号噪声，,农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布.,应用场合,标准正态分布,此时，,标准正态分布的重要性在于，,任何一个一般的正态分,布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理,设,则,证明,的分布函数为,所以,证毕.,标准正态分布表的使用,1.,利用正态分布的对称性(如下图)，,易见有,标准正态分布表的使用,2.,若,则,3.,若,则,标准正态分布表的使用,例6,设,求,解,这里,故,例6,设,求,解,6,.,1,0,X,P,设,则,同理，,如图，,准则,如图，,但它的值几乎全部集中在,范围的可能性仅占不到此为0.3%.,这在统计学上称为,准则,(三倍标准差原则).,超出这个,例7,设某项竞赛成绩,若按参赛人,数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?,解,设获奖分数线为,立的,即,查表得,解得,定为78分.,故分数线可,例8,解,假设某地区成年男性的身高(单位:厘米),求该地区成年男性的身高超过,厘米的概率.,根据假设,且,表,可得,例9,格品的概率.,根