职高高一数学——5.2弧度制

5.2弧度制,翡翠竹林2018年2月,路漫漫其修远兮吾将上下而求索,目标：,1、理解并掌握弧度制的定义，2、能进行角度与弧度之间的换算。3、能用弧度制解决简单的问题,身高：2.26米体重：125千克,1米=3.28043英尺,1千克=0.4536磅,演示：分别以“英尺”和“磅”为单位,测量姚明的身高和体重.,结论：(1)同一个量可用不同的度量制度来度量;(2)不同的结果之间存在换算关系.,在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率是六十进制，总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？,在角的度量里面，除了角度制外，为了使用方便，数学上还采用另外一种度量制-弧度制.,1、什么叫角度制？1的角是怎样定义的？,用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。,A,B,1,一、回顾：角度制,2、弧长公式:,3、扇形的面积公式：,二、新知：弧度制,1rad,若弧AB的长等于半径r,则AOB=1rad,用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制。,2、1rad的角是怎样定义的？,1、什么叫弧度制？,我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad.,2rad,2rad,若圆心角AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则,-3弧度,一般地：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数为零，角的弧度数的绝对值：,其中l是以角作为圆心角时所对弧的长，r为圆的半径.,实际上，利用弧度数公式除了求角的弧度数以外还可以简化很多与圆相关的公式：如弧长公式，扇形的面积公式等，教材上P100例3就简化的过程作了证明。,S=,lr,扇形的面积公式：,弧长公式：,l=ar,=,定义的合理性,提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小有关呢？,结论：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数,O,r,A,B,L,r1,A1,B1,L1,L2,A2,B2,O,r2,与半径大小无关,1弧度1,弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；,思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？,三、拓展：弧度与角度的换算,弧度与角度的换算,2rad,思考2：根据上述关系，1等于多少弧度？1rad等于多少度？,180=1180,化解疑难：弧度制与角度制的换算,用角度制和弧度制度量角，零角既是0角，又是0rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.,平角、周角的弧度数：平角=rad、周角=2rad.,正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.,角的弧度数的绝对值:（l为弧长，r为半径）,注：（1）关键抓住,（2）弧度制与角度数是不可以混合写,360=2rad180=rad,1,=,0.01745rad,1rad=,=5718,（1）、把6730化成弧度。,例1,解：,四、举例应用,正角零角负角,正实数0负实数,任意角的集合,实数集R,一一对应,角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系,第一象限角的集合为,第二象限角的集合为,第三象限角的集合为,第四象限角的集合为,A=|0+k36090+k360,kZ,B=|90+k360180+k360,kZ,C=|180+k360270+k360,kZ,D=|270+k360360+k360,kZ,第一象限的角的集合,第二象限的角的集合,第三象限的角的集合,第四象限的角的集合,用弧度制表示,练习1：用弧度制表示：1)终边在x轴上的角的集合2)终边在y轴上的角的集合3)终边在坐标轴上的角的集合,锐角：|090，直角：=90钝角：|90180平角：=180周角：=3600到90的角：|090；小于90角：|900到180的角：|01800到360的角：|0360,练习2：请用弧度制表示下列角度的范围。,例3.扇形AOB中，所对的圆心角是60，半径是50米，求的长l,解：因为60=,所以,l=r=5052.5.,答：的长约为52.5米.,例4.在半径为R的圆中，240的中心角所对的弧长为，面积为2R2的扇形的中心角等于弧度。,解：（1）240=，根据l=R，得,（2）根据S=lR=R2，且S=2R2.,所以=4.,例5.与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。,解：1825=536025，,所以与角1825的终边相同，且绝对值最小的角是25.,合,例6.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？扇形的面积是多少？,解：周长=2R=2R+l，所以l=2(1)R.,所以扇形的中心角是2(1)rad.,扇形面积是,五、总结提升,（3）掌握弧长公式和扇形面积公式,（1）理解弧度制的定义,（2）掌握弧度制和角度制的换算