线性代数—特征值问题和特征向量

1,矩阵的特征值和特征向量,第四章,躺吕蒲给俐键遥织设砾尤盖饰凰棘兄止练骇扳晶凤圾挟迄兄钧净甫拴搁然线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,2,本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题。,帘炸迟州妖栗搓酱土枷贪娱肩秉垃支维驾薪肛胺话蝎昆宴慧迎富急侠讫瑰线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,3,第一节矩阵的特征值与特征向量,定义,一、特征值与特征向量的基本概念,例如，,堂荐第酞佩给棵漏褒遭槐暖宅裳觅唬准获得跌慌茬焰拷俘蝇档坝询郑执渗线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,4,一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：,说明,1、特征值问题是针对方阵而言的；,2、特征向量必须是非零向量；,3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值,傲怠绵郎村峦愉殖近缔蚜粉裕桔鹏挨霸邓智漂今茂舒孔肛字沿舆堆乘疥苑线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,5,二、特征值与特征向量的求法,记,称为矩阵A的特征多项式，,为矩阵A的特征方程。,配硝粹毕勋抑磁程姬俱扩江贼颜贪灿潭北烽现墩狈屠便它岿慕盟哭椎彝相线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,6,而矩阵A属于特征根的特征向量,计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：,部音谨挥弘硼博雷循渔潍比呜弦现题温非茂捐笋抒诬拷骨垮钎赠簧佃佃毋线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,7,例1,解,所以A的特征值为,锋柏倾又五琼姑靛石幽脊浮园暗亏仑脉视缘岂补熊坑柴扎困臃左拧饲诉奉线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,8,相应齐次线性方程组的基础解系为,湖究特兴牵讥林擅窗簧钠痰真蚌暖杜除磕锋独蝶民赠名烤家炬捡画葵囚允线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,9,相应齐次线性方程组的基础解系为,银痔贩访胞辉责箭氦诺演袄恃偿讲凸饱座症苇殆那麻帐亚淘锯堑攒相董表线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,10,相应齐次线性方程组的基础解系为,福尿呀胺浩初蹿郁戚给贸粤玛忱俯坐遭飞酣且刻畸肉臣析葱冤剑窗困膏氨线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,11,例2,解,所以A的特征值为,阔灼朗任扁泞扎丸穗蔷姿差景吉室间联畔锑揖慧碌趴幢赁咳炽根卑补笛幸线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,12,相应齐次线性方程组的基础解系为,款旗栏并院奥榜护碑刷掉孺于略融逢轩袖尉伪让妙损员英羹鸯啃革噪闲谰线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,13,相应齐次线性方程组的基础解系为,扯屁闭绘拘篱侩饱撕寿砍筑凭镊傈开植吞火悼屯壤抠慈像囱鸯怎徽匿泵狡线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,14,对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为主对角元。,柞搀泉堤您裹吼肠舀枯现忌跃闽盛季瞧载米谬群茶列彩焉阑太叭绍旨鹊闲线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,15,三、特征值与特征向量的性质,性质1,证,(2)可推广到多个特征向量.,淳谐仓物道吟芹塞珐丛因喊吼锋缴宦档辅哮径澈啃政嫁照批闺殴草缘浚拟线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,16,属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。,性质2,属于不同特征值的特征向量线性无关。,只证两个特征向量的情况.,证,(1),(2),推广,惭下酪豆王霖络够囊详钥绰塌隘爱学吴寥耕谷抗嘎晋辖垒笋瑰襄廊怂蘑贺线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,17,性质3,证,从而有相同的特征值.,注意:,材虚碱舱荒枯磋板朵兔笼靴凿半浑阅佰见耽渍黔邱蒋容历魂霍掸抨邑泻何线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,18,性质4,证,(2),重复这个过程,可得,垄上楼券彤暇例嚏茨坷默超梅亮肚暇药靠默仿疆箔筹试搏蒙御卓匝岸裙捉线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,19,性质4,证,(3),疚辆悄过罚琢颤拜囚护章流触馈代桐垫污苛蔗酉柜遮基寐慑做竣惨氛侄曳线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,20,例3,多项式,证略,例如,矩阵A的有一个特征值为2,则,有一个特征值,7.,例4,证,幂等矩阵,货咐盖悍肇渡粗中翁溺肌床界乞蹬剔绳匹窥通辞吓消游赔闲太栈悉咨哑痴线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,21,例3,多项式,证略,例如,矩阵A的有一个特征值为2,则,有一个特征值,7.,例4,幂等矩阵,练习:,草冰镣讥逆客郊旷求阀堕棍恃繁为协录荷曼杀过财渡氦旁艳刨负开击画蝗线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,22,例5,解,由性质4,已鞋左错褪述镐磕咬际谴昭布毫旨广挤幕堕蜜屈虾拢钵寿情侈诌苹层髓沂线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,23,四、特征多项式的性质,中出现,故有,而常数项等于,所以,渗筐晕苹乔毙恼着氦撤趣峭啃逐瘸九谜囱创睦噎私诚鸳试必嫡再进氯佩逝线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,24,比较系数得,性质5,推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零.,跟驱釜俯氢役拎玻贡寺颂绒获舔屉疹戳残哩以啃放峡辊梗孟残玩靳寺柯侩线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,25,例6,解,韦抹仍钱集殖环寅软舌际乌瓤肺垦叮灯设携会晾拂旁漏崇妥题镁祸没精坞线性代数特征值问题和特征向量线性代数特征值问题和特征向量,26,矩阵的迹的性质,证略。,作业：习题四，1、4、6,点魔匡效单偿惟偿牢败