矩阵的概念及运算

矩阵是数学学习与研究中最最常用的工具和手段，利用它可以丢掉那些可忽略的部分，从而抓住问题的本质，简化问题的复杂程度，并通过对矩阵的研究，完成对问题的全面解决。比如：线性方程组就可用矩阵来解决。,概述,第二章矩阵,矩阵已广泛应用于自然科学的各个分支及经济分析、经济管理等许多领域.在这一章里，我们将介绍矩阵的运算，方阵的行列式，可逆矩阵，矩阵的初等变换等关于矩阵的基本理论.这些内容是学习后面各章的基础.,2.1矩阵的概念,引例,线性方程组,未知量的系数可排成一个矩形阵列：,加常数项,有无解，由未知量系数和常数项决定。,对方程组有无解的研究可转为对上述矩形阵列的研究。,例,例P.51,四种产品，四个季度的产值也可用一个矩形阵列（或矩形表）来描述：,季度,产值,从该矩形表上可以看出产值的变化规律。,矩阵的定义,定义2.1由个数排成的m行n列数表（阵列）,称为一个m行n列矩阵，,习惯上称为该矩阵的“大小”或型。,P.52,其中表示第i行第j列处的元素。,简称为矩阵，,矩阵的记法,(1)A，B，C，.,(2)，.,(3)，,例：,(小括号和中括号是矩阵的标志性符号),所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O.,例如,特别：(P.52),行（列）阵：,当m=n时，称矩阵为n阶矩阵或n阶方阵。,例如,是三阶矩阵,一阶（m=n=1)矩阵就是一个数。,|A|,例,注意：长方形矩阵不能取行列式！,方阵的行列式,定义2.2,矩阵相等,另外：,非负矩阵：,A的负矩阵：,行列式与矩阵的不同之处：,行列式,矩阵,行列式是一个数量,矩阵是一张矩形表,行数与列数相等,行数与列数可以不相等,不同阶的行列式值可能相等,不同大小的矩阵不可能相等,例如：,数的运算,加法,减法,乘法,除法,矩阵的运算,加法,减法,数乘矩阵矩阵乘矩阵,无,定义了逆矩阵,在学习矩阵的运算及性质时，要注意与数的运算及性质对比，哪些同，哪些不同。,2.2矩阵的运算,例,甲、乙两个厂的四种产品，四个季度的产值分别如矩阵A、B，,季度,产值,则总和,（一）1.矩阵的加法,P.53,定义2.3设矩阵,与,是两个矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的矩阵：,则称矩阵C为矩阵A与B之和，记作C=A+B.,问：两个矩阵的大小不同可否相加？,不能！,由负矩阵可定义矩阵减法(P.55)：,设A、B为同型矩阵，则A与B的差，即矩阵减法：,2.矩阵的数乘,定义2.4设是一个矩阵，k是一个常数，则称矩阵,为矩阵A与数k的乘积(矩阵的数乘)，记为kA.,这与行列式的性质不同!,重要结果：,A为n阶方阵,P.53,例有4名学生，3门课,平时成绩,期末成绩,期中成绩,总成绩中,分别占10%、20%和70%,D=0.1C+0.2B+0.7A,0.1,+0.2,+0.7,总成绩矩阵,矩阵的加(减)法与数乘统称为矩阵的线性运算。,例,例,设A为三阶矩阵，且|A|=2,则,一般有：,线性运算的八大性质（运算律）（P.54）,设A、B、C、O为同型矩阵，k，l为数，则有,加法,数乘,与“数”相应的运算律相同。,例(P.56例4)已知,解,（二）矩阵的乘法,引例,工厂,产量,产品,甲乙丙,产品,甲乙丙,价格单位利润,工厂,总收入,总利润,总收入产量x价格,总利润产量x单位利润,P.56,A,B,C,定义2.5P.59,定义A,B之积,其中，,称A左乘B，或B右乘A,能相乘的条件：左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；,积矩阵的大小：左矩阵的行数乘右矩阵的列数。,即,要点：左行乘右列，“长度”相等;积矩阵大小为：左首右尾。,例（P59),ABBA,交换律不成立！,练习,解,一个数,例（P61),两个矩阵A、B，,矩阵可交换定义,P.61,则称A与B可交换；,例（P60),例（P63),AC=BC,A=B或C=O,消去律不成立！,例：,线性方程组的矩阵表示,令,则方程组可改写为：,P.63例9,解矩阵方程,例（P.64）,解,由题设，有,得方程组：,以后还有更简便的方法逆矩阵法！,矩阵乘法的性质,P.64,证明略,4(P.65中)设A,B为n阶方阵,同阶方阵之积的行列式，等于行列式之积。,注意：1长方形矩阵不能用该性质！,如：,（三）矩阵的转置,定义2.6,转置,例,P.66,一阶矩阵有,数,性质(P.66),证明4o：(i),推广：,容易验证左右两边矩阵的大小相等。,现证左右两边矩阵的元素对应相等。,例如：,注意：,定义：设A是n阶方阵，k为正整数，,性质：,但是，一般地,（四）方阵的幂,与数的方幂同,与数的方幂不同,P.67,A的k次幂,n阶单位矩阵,定义,例设,解法一：,思路：找规律，再用归纳法证明。,假设成立，则,由数学归纳法：,解法二以后讲,练习,1.设A,B为n阶方阵，讨论在什么条件下有,解,可见：只有当A,B可以交换时，上述结果才成立，即，二项式公式和因式分解公式对于矩阵不一定成立！,即一般：,但当AB=BA或B=I时公式成立。,练习,解,巧办法！,矩阵乘法与数的乘法不同的地方：,1.AB与BA可能都无意义，或其中一个有意义；,2.AB与BA都有意义，一般,5.n阶方阵A、B，一般,6.一般情况下，二项式公式对矩阵不成立。,思考题：5、6在什么条件下成立？,现证明结合律。,分析：利用矩阵相等的定义：1.型号相同，2.对应元素相等,证明：设三个矩阵分别为：,则，分别为，型，从而(AB)C与A(BC)都是型。,矩阵AB的ik元，,同理可得：A(BC)的ij元为,所以二者对应元相等，故结合律成立。,从而(AB)C的ij元为,例求,解原式=,例求解关于X矩阵方程：,解：,X的大小为何？,练习,设,求：,(1)A-2B,(2)|2A|,|A|A|,(3)设A-2X=2B,求X,本次课主要内容：,矩阵乘法的例子,矩阵乘法的性质,矩阵的转置及性质,方阵的方幂及性质,设,解：,练习,例,解,矩阵是数学学习与研究中最最常用的工具和手段，利用它可以丢掉那些可忽略的部分，从而抓住问题的本质，简化问题的复杂程度，并通过对矩阵的研究，完成对问题的全面解决。比如：线性方程组就可用矩阵来解决。矩阵在控制理论、经济管理、线性规划等领域中也有广泛应用。,事实上，矩阵