第一章函数与极限电子教案第八节_第1页
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文档简介

一、函数的连续性,二、函数的间断点,一、函数的连续性,1.变量的增量,定义设变量u从初值u1变到终值u2，终值与初值,的差u2u1称为变量u的增量，,记作,u=u2u1.,设y=f(x)，则x称为自变量的增量，y称为函,数的增量.,注意,增量u可正可负还可以为零.,2.连续的定义,定义设函数y=f(x)在x0的某一邻域内有定义，,如果,那么就称函数y=f(x)在点x0连续.,连续函数的图形是一条连续而不,间断的曲线.,3.连续的等价定义,令x=x0+x,则可得连续的如下等价定义：,定义设函数y=f(x)在x0的某一邻域内有定义，,如果,那么就称函数y=f(x)在点x0连续.,(1)有定义，即f(x0)存在；,(2)有极限，即,存在；,(3)相等，即,因此函数y=f(x)在点x0连续必需同时满足上述三,个条件.,4.连续函数,左连续：,右连续：,连续：,定义在区间上每一点都连续的函数，,叫做在该区间,上的连续函数，,或者称函数在该区间上连续.,如果区间,包括端点，,那么在左端点连续是指右连续，在右端点,连续是指左连续.,例1,证明y=sinx和y=cosx在(-,+)上连续.,二、函数的间断点,定义设函数y=f(x)在x0的某一邻域内有定义，,如果函数y=f(x)有下列三种情形之一：,(1)在x=x0没有定义；,(2)虽在x=x0有定义，但,不存在；,(3)虽在x=x0有定义，且,存在，但,则称函数f(x)在x0间断，点x0称为函数f(x)的间断点.,间断点分类,间断点,第一类间断点,f(x0-),f(x0+)都存在,可去间断点,f(x0-)=f(x0+),跳跃间断点,f(x0-)f(x0+),第二类间断点,f(x0-),f(x0+)中至少有一个不存在,无穷间断点,f(x0-),f(x0+)中有一个是无穷大,振荡间断点,f(x0-),f(x0+)中有一个是振荡,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如,(1),(2),(3),显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃
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