第六讲 直线与平面 平面与平面垂直的判定

第一部分直线与平面垂直的判定,一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停的走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直.,引入,讲授新课,1.直线和平面垂直的定义,讲授新课,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，,1.直线和平面垂直的定义,讲授新课,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l.,1.直线和平面垂直的定义,讲授新课,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l.l叫平面的垂线，叫直线l的垂面，,1.直线和平面垂直的定义,讲授新课,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l.l叫平面的垂线，叫直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足.,1.直线和平面垂直的定义,讲授新课,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l.l叫平面的垂线，叫直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足.,(线线垂直线面垂直),1.直线和平面垂直的定义,思考：你觉得直线与平面垂直的依据是什么？,思考,发现了什么？,2.直线和平面垂直的判定,定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.,B,n,m,l,2.直线和平面垂直的判定,定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.,符号语言:,n,m,l,2.直线和平面垂直的判定,B,定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.,若lm，ln，mnB，m，n，则l.,符号语言:,n,m,l,2.直线和平面垂直的判定,B,A.若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.,例1.判断下列命题是否正确,例2.如图，在长方体ABCD-ABCD中，与平面BCCB垂直的直线有；与直线AA垂直的平面有.,B,D,C,A,B,A,D,C,例3.已知ab，a，求证：b.,a,b,分析：构造线面垂直的判定定理,m,a,b,n,线面垂直线线垂直线面垂直,直线与平面垂直的判定方法：,1.定义；,2.定理；,3.结论：两条平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.,课堂小结,第二部分直线与平面垂直的判定之线面角,直线和平面所成的角,P,讲授新课,A,直线和平面所成的角,P,讲授新课,一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，A,A,直线和平面所成的角,一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足,P,A,讲授新课,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，,P,O,A,直线和平面所成的角,讲授新课,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.,直线和平面所成的角,讲授新课,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,直线和平面所成的角,讲授新课,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：(0o，90o).,直线和平面所成的角,讲授新课,练习,2.(1)在正方体ABCD-ABCD中，直线AB与面ABCD所成的角为度；,(2)在正方体ABCD-ABCD中，直线BD与面ABCD所成的角的余弦是.,A,B,C,D,C,B,D,A,理论迁移,例在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.,课堂小结,直线和平面所成的角.,4.如图，已知APO所在平面，AB为O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AEPC于点E.求证：AE平面PBC.,重点练习线面垂直,C,P,A,B,O,E,第三部分平面与平面垂直的判定,两直线所成角的取值范围：,平面的斜线和平面所成的角的取值范围：,直线和平面所成角的取值范围：,复习回顾,两直线所成角的取值范围：0o,90o,平面的斜线和平面所成的角的取值范围：(0o,90o),直线和平面所成角的取值范围：0o,90o,复习回顾,1半平面的定义,讲授新课,1半平面的定义,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,讲授新课,2二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,l,2二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱,l,2二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面,l,2二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面,棱为l，两个面分别为、的二面角记为-l-,或者也可以在两个面内分别取点P,Q,则二面角记为P-l-Q,3画二面角,平卧式：,3画二面角,平卧式：,l,3画二面角,平卧式：,直立式：,l,3画二面角,怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？,4二面角的大小,在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，以点O为垂足，在半平面和内，分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成AOB,怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？,4二面角的大小,AOB的大小一定么？,AOB的大小一定,则称AOB为二面角-l-的平面角,二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度,二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度,二面角的两个面重合：0o；,二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度,二面角的两个面重合：0o；,二面角的两个面合成一个平面：180o；,二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度,二面角的范围：0o,180o,二面角的两个面重合：0o；,二面角的两个面合成一个平面：180o；,平面角是直角的二面角叫直二面角,例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B大小的正切值.,D,A,C,B,例2：如图，已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？,D,A,E,C,B,例2：如图，已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？,例2：如图，已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？,D,A,E,C,B,5.平面与平面垂直,两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作.,5.平面与平面垂直,两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作.,画图时，通常将直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。,如何判断两个平面垂直呢？,定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.,平面和平面垂直的判定,a,定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.,符号语言:,平面和平面垂直的判定,a,(线面垂直面面垂直),定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.,符号语言:,平面和平面垂直的判定,a,(线面垂直面面垂直),例3,例3,线线垂直线面垂直,面面垂直,例4如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.,例4.如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.,线线垂直线面垂直,面面垂直,课堂小结,1.二面角的定义、二面角的平面角；2.二面角平面角的求法；3.平面与平面垂直的判定.,练习1如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC平面PCD.,综合练习：ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO平面ABCD，E是PC的中点，求证：(1)PA/平面BDE；(2)平面PACBDE.,P,O,A,B,C,D,E,线面垂直和面面垂直的性质,定理1，垂直于同一个平面的两条直线平行,2.已知ab，a，求证：b.,线面垂直性质定理,（2）若求证：MN面PCD,面面垂直性质定理若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.,三垂线定理及逆定理,如图，直线l是平面的一条斜线，它在平面内的射影为b，直线a在平面内，如果ab，那么直线a与直线l