第七章 留数定理及其应用

第七章留数定理及其应用,数学物理方法,7.1留数定理,单值函数f(z)在孤立奇点bk邻域内的洛朗展开中的项的系数称为f(z)在bk处的留数，记作，或。,留数,定义,设光滑的简单闭合曲线C是区域G的边界，若除了有限个孤立奇点bk(k=1,2,n)外，函数f(z)在G内单值解析，在上连续，且C上没有奇点，则,留数定理,如图，围绕每个奇点bk作闭合曲线gk，使gk均在G内，且互不交叠，由复连通区域的柯西定理知,将f(z)在bk的邻域内展开为洛朗级数,复连通区域的柯西定理洛朗展开系数公式,因为,且C内含有z=a,可知,留数定理,设z=b是f(z)的m阶极点，则在b点的邻域内,留数的求法,全为正幂项，求导(m-1)后，低于(m-1)次的幂项没有了，高于(m-1)次的幂项在，只剩了。,两边同乘以(zb)m得,常见情况：，P(z)、Q(z)在b点及其邻域内解析，z=b是Q(z)的一阶零点。Q(b)=0，Q(b)0，P(b)0，则,若z=b是一阶极点，则,小结：求留数的方法,根据定义将函数在奇点邻域展开，求展开系数a1求积分对m阶极点求导数对一阶极点，求极限对一阶极点，有,求在奇点处的留数。,是它的一阶极点,方法一：直接在z=0作展开,求在奇点处的留数。,方法二：是一阶奇点,所以是的三阶极点。,的倒数的零点,求在奇点处的留数。,为一阶极点，为二阶极点,先分析奇点的类型,求在奇点处的留数。,可将在展开，,为在复平面内的唯一孤立奇点，,不确定，为本性奇点。,求在孤立奇点的留数。,只关心负一次幂系数,因此，,显然，A、B、C正好是f(z)在一阶极点z=1，z=2，z=3的留数，所以,对有理函数部分分式。,所以,为的一阶极点，,为本性奇点，,求在奇点的留数。,2）在C内只有可能是f(z)的奇点，作变换则,对于无穷远点，定义C为绕无穷远点正向一周的围道，1）在C内有奇点bk，则,补充讨论：,在t=0点邻域内幂级数展开中t1项的系数,在t=0点邻域内幂级数展开中t1项的系数,在z=点邻域内幂级数展开中z1项的系数,此结果与有限远处奇点的留数不同之处为：1）形式上多了一个负号；2）z1是f(z)在点展开的正则部分（绝对收敛的负幂项），即使点不是奇点，resf()也可以不为0；反之，即使点是奇点，甚至为一阶极点，resf()也可以为0。,留数的计算在积分计算中常用到！下面重点学习积分计算中留数定理的运用，涉及定积分和常见类型积分的计算。,R在上连续，保证了R(z)在上无奇点。,7.2有理三角函数的积分,计算方法,R为和的有理函数，在上连续，作变换，即，则,计算积分,有一阶极点：,只有在内,设，则，,计算积分,被积函数为偶函数,令,则,在内，函数f(z)只有一个一阶极点,中的被积函数为奇函数，,可见z=0是被积函数在内的唯一奇点，是2n+1阶极点，若求2n阶导数则很复杂，故将f(z)在中展开,计算积分,令,由二项式定理知,当k=n时，为项,的奇点均为一阶极点，只有在内,计算积分,令,计算积分,令,有一阶极点只有在内,在上半平面补上以圆点为圆心R为半径的弧CR，则-R,R+CR形成闭合围道，应用留数定理计算闭合围道积分后令R0。,7.3无穷积分,将实变函数f(x)延拓为f(z)补上适当的积分路径，形成闭合围道,计算方法：,计算积分,在上半平面只有一个二阶极点,因为,由引理二（第三章）知,所以,可见，无穷积分的被积函数f(z)必须满足：1）在上半平面除有限个孤立奇点外，处处解析，实轴上无奇点；2）在内，当时，一致的趋于0。即，使当时，,计算定积分,在围道内只有一个一阶奇点,作围道,（引理二）,所以,即,在上半平面内有两个一阶极点和,计算积分,只要知道，那么分别比较实部和虚部即可。,7.4含三角函数的无穷积分,当时，和行为复杂，故取被积函数为,计算方法：,或,设，当时，Q(z)一致的趋近于0，则,约当定理,其中p0，CR是以原点为圆心，以R为半径的半圆弧。,时，,可见,由复变积分性质知：,当f(x)为偶函数时，f(x)cospx为偶函数，f(x)sinpx为奇函数。,bk在C内,约当引理保证了：,当f(x)为奇函数时，f(x)cospx为奇函数，f(x)sinpx为偶函数。,为偶函数,计算积分,在上半平面内有一阶极点和,由约当引理知,非奇非偶,计算积分,在上半平面内有一个一阶极点,由约当引理知,所以,为奇函数,计算积分,在上半平面内有一个一阶极点,由约当引理知,方法一：,所以,即,为奇函数,方法二：,所以,主值积分解析函数f(x)在有界区域内某点x0无界，称为f(x)在a,b上的主值积分。,7.5实轴上有奇点的情形,围道作法同上，只是积分围道绕过实轴上的奇点。围道多了一段以实轴上的奇点为圆心，d为半径的半圆弧。,计算方法：,定义,计算主值积分,由引理二知：大弧上的积分为零。,又由引理一知：小弧上的积分值。,因此,即,计算积分,围道C内解析，故积分值为零。,由约当引理知：大弧积分为零。当时,又由引理一知：小弧上的积分值。,可知,即,所以,计算积分,围道C内解析，故围道积分值为零。,在实轴上有二阶极点z=0，作如图围道,又由约当引理知：大弧积分为零。当时,由引理一知：小弧上的积分值。,即,计算积分,在实轴上有三阶极点z=0,由约当引理知：大弧积分为零。当时,对于I1作围道C，如下图,故,故,对于I2作围道C，如下图,弧积分在下半平面，以保证能满足约当引理中的,由约当引理知：大弧积分为零。当时,由以上分析可知,类似地可以求出,计算这类积分的关键：选择正确的复变积分的被积函数。,相应的复变积分为，z=0和是被积函数的极点，沿正实轴作割线，并规定割线上岸，积分路径如上图，。,7.6多值函数的积分,计算方法：,s为实数，Q(x)单值，在正实轴上没有奇点。,计算积分,如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸,围道内仅有一个一阶极点,当时,由此可推知一些积分，如时,下一章学习G函数时会直接用到这个结果,实虚部分开,比较虚部可知,计算积分,如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸,围道内仅有两个一阶极点,由引理一知：小弧上的积分为零。,当时,由引理二知：大弧上的积分为零。,由以上计算可知：的定积分可通过计算得到；而的计算则要通过计算得到。,可得,没有得到是因为的多值性表现在虚部上，实部互相抵消。,因为此时在割线上下岸的函数值与相互抵消，剩下项正是所需。,右边,左边,所以,即,