第一章、第四节、 函数的极限_第1页
第一章、第四节、 函数的极限_第2页
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第四节函数的极限,一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结练习题,从数列极限到函数极限的过度,数列是整标函数,当自变量n取正整数无限增大时，函数f(n)无限接近常数a,对于一般函数y=f(x)，自变量的变化过程除上述情形外，还有以下几种变化过程：,1.取正实数而无限增大。,记为,称为x趋于正无穷大。,一、函数极限的定义,2.取负实数而无限减小。,记为,称为x趋于负无穷大。,3.取实数而同时趋于正、负无穷大(|x|无限增大）,记为,称为x趋于无穷大。,4.取实数而趋于某个有限值,记为,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,只要在数列极限定义中，将n换为|x|，N换为X即为上述定义1。,2、另两种情形:,3、几何解释:,例1,证,例2,证,注意：,不存在。,2、自变量趋向有限值时函数的极限,问题:如何用精确的数学语言描述上述极限,称在自变量的这一变化过程中函数f(x)以A为极限,2、几何解释:,注意：,一般说来，越小，也越小。,例1,证,函数在点x=1处没有定义.,例2,证,？,在上述极限过程中，要保证x0。,不能保证x0,问题：,问题：如何保证x0?,（1）用定义证明,的关键步骤,将|f(x)A|适当化简，变形或放大，使之出现下面的形式：,再从中解出,然后取,（2）有时为了同时保证几个不等式成立，常常要在几个常数中取最小者。,例3,证,？,的选取仅与有关，与自变量x无关。,问题：,又x2，,不妨设1x3，,请思考：为什么能这样？为什么要这样？,则有,1x3,|x2|0的情形证明,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),只要在数列极限定义中，将n换为|x|，N换为X即为上述定义1。,内容回顾:自变量无穷大时函数的极限,2、自变量趋向有限值时函数的极限,三、小结,极限的
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