阅读与思考函数概念的发展历程

第2课时集合的表示,一,二,一、列举法1.我们在初中学习过正整数、负整数、有理数、实数等,请思考以下问题:(1)小于6的正整数有哪些?提示:1,2,3,4,5.(2)小于6的正整数是否可以组成一个集合?提示:显然这些数是确定的,根据集合的定义,这些数可以组成一个集合.(3)若能,用自然语言表示这个集合;如何用集合语言表示出这个集合?若不能,请说明理由.提示:该集合可以用自然语言表示为:由1,2,3,4,5组成的集合;用集合语言可以表示为1,2,3,4,5.,2.填空:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.3.判断正误:(1)用列举法表示集合x|x2-6x+9=0为3,3.()(2)与表示相同的集合.()答案:(1)(2),一,二,4.做一做:由方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有解为元素组成的集合为()A.2,3,1B.2,3,-1C.2,3,-2,1D.-2,-3,1解析:解方程x2-5x+6=0,得x=2,或x=3,解方程x2-x-2=0,得x=-1或x=2,故以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有解为元素的集合为2,3,-1.答案:B,一,二,一,二,二、描述法1.易知1,2,3,4,5这五个数字组成的集合可以用列举法表示.(1)这五个数字的共同特征是什么?提示:小于6,且为正整数.(2)是否可以用描述法表示该集合?若能,请写出该集合;若不能,请说明理由.提示:可以,x|0x6,xZ或xZ|02019表示相同的集合.()(2)(x,y)|x0,y0,x,yR是指平面直角坐标系内第一象限内的点集.()答案:(1)(2)4.做一做:已知集合A=0,1,2,3,4,用描述法表示该集合为.(答案不唯一,写一个即可)答案:xN|x4,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)所有正整数组成的集合;(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.分析:先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为-1,1.(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为s,e.(3)正整数有1,2,3,所求集合用列举法表示为1,2,3,.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合.(2)“”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;元素之间无顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练1用列举法表示下列集合:(1)15的正约数组成的集合;(2)不大于10的正偶数组成的集合;,解:(1)1,3,5,15;(2)2,4,6,8,10;(3)(-3,0).,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-23.(3)不等式x-23的解是x5,则不等式x-23的解组成的集合用描述法表示为x|x5.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;(2)函数y=x2-4上的点组成的集合;,解:(1)(x,y)|xR,y=0;(2)(x,y)|y=x2-4;(3)x|x1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究三集合的表示例3用适当的方法表示下列集合:,(2)1000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)函数y=x2函数值y的所有取值组成的集合.分析:依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为x|x=3k+2,kN,且k332.(3)用描述法表示为x|x是正方形或正方形.(4)用描述法表示为y|y0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟1.表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.2.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.3.对于集合三角形实际上是x|x是三角形的简写,千万别理解成是由三个汉字组成的集合,三角形构成的集合不要写成所有三角形,因为本身就是“所有”的含义.4.本题(4)中的集合表示点集,要注意区分(x,y)|y=x2与x|y=x2、y|y=x2都不是同样的集合.x|y=x2中代表元素是x,表示数集R;y|y=x2中的代表元素是y,即y|y0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,延伸探究试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合;(2)一次函数y=3x与y=2x+7的图象的交点组成的集合.解:(1)该集合用描述法表示为xR|x(x2-1)=0,用列举法表示为-1,0,1.,用列举法表示为(7,21).,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,分类讨论思想在集合表示中的应用典例若集合A=x|kx2-8x+16=0只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.【审题视角】明确集合A的含义对k加以讨论求出k的值写出集合A解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A=2.当k0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A=4,满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A=2;当k=1时,A=4.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,方法点睛1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,延伸探究1【典例】中若集合A中含有2个元素呢?,解得k1.综上,实数k的取值集合为k|k=0或k1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,1.集合xN*|2x-19的另一种表示方法是()A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4C.0,1,2,3,4,5D.1,2,3,4,5答案:B2.下列各组集合中,表示同一集合的是()A.M=(3,2),N=(2,3)B.M=3,2,N=2,3C.M=(x,y)|x+y=1,N=y|x+y=1D.M=3,2,N=(3,2)解析:由于集合中的元素具有无序性,故3,2=2,3.答案:B,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,3.若A=0,3,6,B=x|x=n-m,m,nA,mn,则集合B中的元素个数为.解析:当n=0,m=3时,n-m=-3;当n=0,m=6时,n-m=-6;当n=3,m=0时,n-m=3;当n=3,m=6时,n-m=-3;当n=6,m=0时,n-m=6;当n=6,m=3时,n-m=3.所以集合B中的元素共有4个:-3,3,-6,6.答案:4,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,4.集合A=(x,y)|x+y=6,x,yN用列举法表示为.答案:A=(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)