常微分方程2.1-变量分离齐次VIP

第二章一阶微分方程的初等解法,微分方程的一个中心问题是“求解”。但是，微分方程的求解问题通常并不是容易解决的。本章将介绍一阶方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题。一般的一阶方程是没有初等解法的，本章的任务就在于介绍若干能有初等解法的方程类型及其求解的一般方法，虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分。,2.1变量分离方程与变量变换,先看例子：,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,例：,分离变量:,两边积分:,例1求解方程,两边积分，即得，,因而，通解为.,注:,例2,例3求解人口增长的Logistic模型,解同样可以应用变量分离方法并对分式分解化为两边积分之，得其中为任意常数.化简之,（续）,其中将初始条件t=t0时N=N0代入得最后得解,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,练习,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,初等积分法是微分方程求解的最基本方法，也是求解其他微分方程的基础。变量分离方程总可以利用积分法求出未知函数，但方程的形式并不局限于变量分离形式。对绝大部分可求解的微分方程其形式表面上看并不符合变量分离形式特征，因此将其他形式方程转化为变量分离形式成为求解更多微分方程的重要手段。下面介绍几种通过一次或几次变量变换可以转化为变量分离形式的方程,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,(I)形如,方程称为齐次方程,求解方法:,代入原来的变量，得到原来方程的通解为,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,(II)形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.,解的步骤:,解:,解方程组,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,应用举例：电容器的充电和放电及探照灯反射镜面的形状例6电容器的充电和放电,解电流I经过电阻R、电感L、电容C的电压降分别为RI、LdI/dt和Q/C，其中Q为电量，它与电流的关系为I=dQ/dt。根据基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零.,（续）电容器的充电方程,充电过程：代入得常微分方程变量分离两边积分还有解uC=E.故c2为任意常数.方程的通解为,（续）电容器的充电过程,考虑初始条件t=0时uc=0，代入得c2=-E.即充电过程为当t时ucE.=RC称为时间常数，当t=3时uc=0.95E.电容器的放电过程类似。可作为练习。,*例7探照灯反射镜面的形状,解曲面为曲线绕x轴旋转而成.反射定律：入射角=反射角即得而于是