数值分析--绪论

1,数值分析,2,什么是数值分析？她能够做什么？,第一章绪论,1.1数值分析的研究对象,3,“数值分析”就是研究在计算机上解决数学问题的理论和数值方法。数值算法的构造算法的理论分析,学习和了解科学计算的桥梁,学科别名计算方法科学与工程计算,4,计算机解决实际问题的步骤,实际问题数学模型数值分析编程、上机求出结果,抽象，简化，近似,我们课程的主要内容,5,课程学习思路,主要内容：将实际数学模型转变为可解数学模型,研究如何通过以实际数据参加运算得出数值近似解,得到解析解不能处理的解.基础知识：微积分，线性代数学习方法：习题编程课程定位：数学课？语言课？掌握数值方法和结论，理解过程但不要求证明，能编程并用Matlab实现Matlab：实验环境和数值计算工具考试：,6,1.2误差知识与算法知识,1.2.1误差的来源与分类,模型误差:从实际问题中抽象出数学模型,观测误差:通过测量得到模型中参数的值,截断误差（方法误差）:求近似解如Taylor公式,舍入误差:计算机字长有限,（数值分析的特点：近似，由此产生误差，影响精确度）,截断误差：,7,1.2.2绝对误差、相对误差与有效数字,绝对误差,工程上常记为,的上限记为,称为绝对误差限。,相对误差,x的相对误差限定义为,准确值近似值,工程上,例如直尺测铅笔长度。,8,例1.用最小刻度为毫米的卡尺测量两根直杆，读出长度a312mm，b24mm，问：（1）（2）两直杆实际长度x和y在什么范围？,例2.设a2.18，b2.1200是分别由准确值x，y经四舍五入得到的近似值，问：,注意：凡是由准确值经四舍五入而得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位！,9,定义：设数a是数x的近似值，如果（1）a的绝对误差限是它的某一位的半个单位，（2）从该位到它的第一位非零数字共有n位。则称用a近似x时有n位有效数字。注：凡是由四舍五入得来的近似值，从最末位到第一位非零数字都是有效数字。,有效数字,例3下列近似值的绝对误差限都是0.005，a1.38，b0.0312，c0.86问各个近似值能有几位有效数字？,10,1.2.3函数求值的误差估计,对于一元函数uf（x），exa是函数值uf（x）的近似值，由Taylor公式得,问题：设有三个近似数a2.31，b1.93，c2.24，它们都有三位有效数字，（1）计算pa+bc，（2）p的计算结果有几位有效数字？,若，则用高阶导数。,11,对于多元函数：,四则运算结果的误差估计：,12,例4：设有三个近似数a2.31，b1.93，c2.24，它们都有三位有效数字，（1）计算pa+bc，（2）p的计算结果有几位有效数字？,例5.设如果用作为f(x,y)的近似值，则能有几位有效数字？,13,算法规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列衡量算法优劣的标准：1可靠的理论基础，正确性，收敛性，数值稳定性以及可作误差分析。2.良好的计算复杂性，包括时间复杂性，空间复杂性,1.2.4算法及其计算复杂性,14,1.减少运算次数.,例计算多项式的值,秦九韶算法：,设计算法时遵循的原则,算法一：,乘法计算次数1+2+n,乘法计算次数n,15,2.算法的数值稳定性控制初始数据误差在计算中的传播问题.(此问题在后面的章节中有详细讲述）,注：一个算法若输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则是不稳定的。,16,.防止大数吃小数,4.避免两个相近数相减，以免严重损失有效数字。,5.避免大数除以小数。,17,在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,18,定义：Rn空间的实值函数|,对任意满足下列条件,1.3向量范数与矩阵范数,1.3.1向量范数,对任意,定理1.1（常用向量范数）,(1)非负性,(2)齐次性,(3)三角不等式,（1-范数或列范数）（2-范数或Euclid范数）（-范数或行范数）,练习：,p-范数的特例,19,p-范数:,（正整数）,注：当不需要指明使用哪一种向量范数时，就用记号泛指任何一种范数。,20,设是R上任意两种范数，则存在常数m和M（）使得,定理1.2（范数等价定理）,意义：向量x的某一种范数可以任意小（大）时，该向量的其他任何一种范数也会任意小（大）。,21,定义:对任意,称|为定义在空间上的矩阵范数,指|满足：,1.3.2矩阵范数,对任意,(4)|AB|A|B|,22,相容性,（1）矩阵范数与矩阵范数的相容:ABAB,（2）矩阵范数与向量范数的相容：,其中，A是矩阵范数。xRn，x是向量范数。,AxAx,注意：在同一个问题中要同时使用矩阵范数和向量范数时，这两种应当是相容的。,23,定理1.3给定向量范数|，令如此定义的|是矩阵范数，且与给定的向量范数相容。,常用矩阵范数,可证对方阵和有:,(向量|2的直接推广),1.Frobenius范数:,（又称从属于所给定向量范数的矩阵范数）:,2.算子范数,注：若给定的向量范数为，则相应的的矩阵范数仍记为，即,且,24,