立体几何中的向量方法(平行和垂直)最新版本ppt课件

3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量,A,P,直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量,一、方向向量与法向量,2、平面的法向量,l,平面的向量式方程,换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量,.,例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC的一个法向量坐标为_平面AB1C的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),.,.,.,练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立空间直角坐标系.,设平面EDB的法向量为,.,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决几何问题,.,二、立体几何中的向量方法平行关系,.,m,l,一.平行关系：,.,.,.,例1.用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,已知直线l与m相交,.,例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证：如图所示,建立空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线,几何法呢？,.,例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1立体几何法,.,A,B,C,D,P,E,解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,.,A,B,C,D,P,E,解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,设平面EDB的法向量为,.,A,B,C,D,P,E,解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,解得x,.,几何法呢？,.,三、立体几何中的向量方法垂直关系,.,二、垂直关系：,l,m,.,l,A,B,C,.,.,例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB,MNCD.,证1立几法,.,例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB,MNCD.,证2,MNAB,同理MNCD.,.,例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB,MNCD.,证3如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.,x,y,Z,x,y,.,练习棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：,Z,x,y,解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.,.,A,B,C,D,P,E,F,证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.,.,A,B,C,D,P,E,F,证2：,.,证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，,所以,.,证明2：,.,E是AA1中点，,例3正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,.,证明2：,E,E是AA1中点，,例3正方体,平面C1BD.,求证：平面EBD,.,A,B,C,D,P,G,.,3.2.4立体几何中的向量方法夹角问题,.,夹角问题：,l,m,l,m,.,夹角问题：,l,l,.,夹角问题：,.,夹角问题：,.,解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：,所以与所成角的余弦值为,.,解2,.,练习空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB与CD成600角，求AD与BC所成的角大小.,.,例：,的棱长为1.,解1建立直角坐标系.,.,例：,的棱长为1.,解2,.,例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,.,A,B,C,D,P,E,F,(3)解建立空间直角坐标系，设DC=1.,.,.,例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,平面PBC的一个法向量为,解2如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.,平面PBD的一个法向量为,G,.,例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,解3设DC=1.,.,练习,的棱长为1.,解1建立直角坐标系.,平面PBD1的一个法向量为,平面CBD1的一个法向量为,.,的棱长为1.,解2,.,3.2.4立体几何中的向量方法距离问题,.,距离问题：,(1)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则,.,距离问题：,(2)点P与直线l的距离为d,则,.,距离问题：,(3)点P与平面的距离为d,则,d,.,距离问题：,(4)平面与的距离为d,则,.,例1如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,解：如图1，,所以,答:这个晶体的对角线AC1的长是棱长的倍。,.,例1如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,解2：如图1，,.,练习.(P107.2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB4,AC6，BD8，求CD的长.,解1,.,练习.(P107.2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB4,AC6，BD8，求CD的长.,解2,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.,点E到直线A1B的距离为,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.,解2,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.,等体积法,解2,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.,解1:D1C面A1BED1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离.,仿上例求得D1C到面A1BE的距离为,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.,等体积法,解2,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,解1:面D1CB1面A1BDD1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,等体积法,解2,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,解3,.,例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离.,.,作业P1112P1125,A1,E,.,作业,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与